Ημιτονοειδείς και Συνημιτονοειδείς καμπύλες

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι ημιτονοειδείς και οι συνημιτονοειδείς καμπύλες αποτελούν, ίσως, τις πιο αναγνωρίσιμες γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, στην παρακάτω εικόνα, παριστάνεται το ιστορικό καιρού για την Αθήνα.

Τα στοιχεία αντλήθηκαν από την εφαρμογή “Καιρός” των Windows 10.

Έχετε συναντήσει παρόμοιες συναρτήσεις στην Τριγωνομετρία; Μπορείτε να αναγνωρίσετε τη μορφή της προηγούμενης καμπύλης η οποία προσεγγίζει τη μέση θερμοκρασία, σε σχέση με τη χρονική περίοδο, μέσα στο έτος;

Κατά προσέγγιση, η προηγούμενη καμπύλη, μπορεί να θεωρηθεί κατάλληλη μετατόπιση είτε μιας ημιτονοειδούς είτε μιας συνημιτονοειδούς καμπύλης. Να επιλέξετε π.χ. ως αφετηρία το μήνα Μάιο ( $x=0$ ). Τότε, το παραπάνω γράφημα, μάλλον, πρόκειται για κατάλληλη μετατόπιση ημιτονοειδούς. Αντίστοιχα, όταν επιλέγεται ως αφετηρία ο μήνας Ιούλιος, τότε, το ίδιο γράφημα προκύπτει από κατάλληλη μετατόπιση συνημιτονοειδούς καμπύλης.

Μορφή γραφήματος, ακρότατες τιμές και περίοδος

Στις ημιτονοειδείς και στις συνημιτονοειδείς καμπύλες, $y=\rho \,\mathrm{\eta}\mathrm{\mu}(\omega x)$ και $y=\rho \,\mathrm{\sigma}\mathrm{\upsilon}\mathrm{\nu}(\omega x)$ , αντίστοιχα, η μορφή του γραφήματός τους εξαρτάται από ορισμένα χαρακτηριστικά τους με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Αυτά είναι το $\rho$ και το $\omega$ που καθορίζουν τις ακρότατες τιμές τους και την περίοδό τους. Οι ακρότατες τιμές τους είναι η μέγιστη (max) και η ελάχιστη (min) τιμή τους, ενώ η περίοδος ( $T$ ) είναι ο αριθμός που δηλώνει το “κάθε πόσο” οι τιμές αυτών των συναρτήσεων επαναλαμβάνονται. Να έχετε υπόψη:

Την ειδοποιό διαφορά μεταξύ μιας ημιτονοειδούς και μιας συνημιτονοειδούς καμπύλης. Η ημιτονοειδής “εκκινεί” από το $0$ ( $y=0$ για $x=0$ ), ενώ η συνημιτονοειδής “εκκινεί” από το $\rho$ ( $y=\rho$ για $x=0$ ).
Τη βασική συμμετρία μεταξύ αντίθετων συναρτήσεων (γραφικές παραστάσεις συμμετρικές ως προς τον άξονα $x'x$ ).

Η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή, παρέχει τη δυνατότητα εξοικείωσης με τις προηγούμενες έννοιες για μια ποικιλία τέτοιων συναρτήσεων.

Τα τρία στάδια της εφαρμογής εξετάζουν, με διαφορετικό τρόπο, τα προηγούμενα γνωρίσματα αυτών των συναρτήσεων.

Στο Στάδιο 1, δίνεται ο τύπος της συνάρτησης και το γράφημά της. Στη συνέχεια, καλείστε να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή, την ελάχιστη τιμή καθώς και την περίοδο της συνάρτησης.
Στο Στάδιο 2, δίνεται το γράφημα της συνάρτησης και η μορφή του τύπου της. Έπειτα, καλείστε να προσδιορίσετε τις τιμές των παραμέτρων του τύπου της.
Στο Στάδιο 3, δίνεται μόνο το γράφημα της συνάρτησης, καθώς καλείστε να προσδιορίσετε τη μορφή του τύπου της και τις τιμές των παραμέτρων του τύπου της.

Η εφαρμογή, σε κάθε στάδιο, σας καθοδηγεί με τα αλληλεπιδραστικά χαρακτηριστικά που ενσωματώνει και τις βοήθειες που προσφέρει. Επίσης, θα σας δοθεί η ευκαιρία να αναλύσετε τους τύπους $maxf=|\rho|$ , $minf=-|\rho|$ και $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ που ισχύουν για τις ημιτονοειδείς και τις συνημιτονοειδείς συναρτήσεις, $f$ , που πραγματεύεται.

Καλή ενασχόληση!

Μία διαδραστική άσκηση αντιστοίχισης

Θα μπορούσατε, πλέον, να αντιστοιχίσετε διάφορα γραφήματα ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων στους τύπους τους;

Η ακόλουθη εναλλακτική άσκηση, αποτελεί μια δεύτερη διαδραστική εφαρμογή πάνω στα βασικά συμπεράσματα της θεωρίας σχετικά με τη μορφή αυτών των γραφικών παραστάσεων. Ίσως, να συμβάλει στο να ανακαλέσετε τις γνώσεις σας αναφορικά με διάφορες γνωστές συμμετρίες μεταξύ γραφημάτων συναρτήσεων. Οι συμμετρίες αυτές προκύπτουν σε συναρτήσεις που έχουν π.χ.