Πρόσημο τριωνύμου - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Συχνά, σε διάφορα πλαίσια, από την καθημερινότητα ως τα σχολικά μαθήματα των θετικών επιστημών, αντιμετωπίζουμε καταστάσεις όπου είναι χρήσιμο να αναζητήσουμε το πρόσημο ενός τριωνύμου. Τα τριώνυμα, όπως π.χ. το $x^2-x-20$ , είναι παραστάσεις που εντάσσονται στη γενικότερη μορφή,

$\alpha x^2 + \beta x + \gamma,$

με $\alpha,\beta,\gamma$ σταθερές, όπου $\alpha\neq 0$ . Δηλαδή, το τριώνυμο είναι ένα άθροισμα τριών μονωνύμων των $\alpha x^2$ , με $\alpha\neq 0$ , του $\beta x$ και του σταθερού μονωνύμου $\gamma$ .

Η εύρεση του προσήμου μιας τέτοιας παράστασης σημαίνει να βρεθούν εκείνες οι τιμές του $x$ για τις οποίες η παράσταση γίνεται θετική, καθώς κι εκείνες οι τιμές του $x$ για τις οποίες η παράσταση γίνεται αρνητική. Τέτοια ζητήματα συνδέονται με ανισώσεις β΄ βαθμού, όπου μαζί με τις ανισώσεις α΄ βαθμού, αποτελούν την ύλη του Κεφαλαίου 4 στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου.

Τι θα λέγατε να διαπραγματευτούμε το συγκεκριμένο θέμα, μέσα από διαφορετικές οπτικές, παρουσιάζοντας ποικίλες μεθόδους;

Θα σας ενδιέφερε να αναφέρουμε τα γενικότερα συμπεράσματα αναλύοντας το σκεπτικό πίσω από αυτά;

Θα επιθυμούσατε να ασκηθείτε περισσότερο στο πρόσημο τριωνύμου, όπως και στις ανισώσεις δεύτερου βαθμού, με τη βοήθεια κατάλληλου διαδραστικού περιεχομένου;

Πρόκληση ενδιαφέροντος

Την ημέρα του σχολικού αθλητισμού, μια μικρή ομάδα μαθητών προτείνει στον υπεύθυνο καθηγητή μία αθλητική δραστηριότητα. Τα παιδιά ζήτησαν να διεξαχθούν μονοί αγώνες μπάσκετ (ένας εναντίον ενός) όπου καθένας από τους συμμετέχοντες θα αναμετρηθεί, ακριβώς δύο φορές, με κάθε δυνατό αντίπαλο από τους υπόλοιπους.

(Στο πρώτο παιχνίδι θα έχει την πρώτη κατοχή της μπάλας ο ένας παίχτης και στο δεύτερο παιχνίδι ο άλλος παίχτης.)

Ο καθηγητής συμφωνεί με τα παιδιά με την προϋπόθεση ο συνολικός αριθμός των παιχνιδιών να μην ξεπεράσει τα $20$ .

Άραγε, μέχρι πόσα παιδιά θα μπορούσαν να δηλώσουν συμμετοχή στη συγκεκριμένη διοργάνωση;

Η ανάλυση του προβλήματος

Ας δηλώσουμε με $x$ τον αριθμό των συμμετέχοντων μαθητών. Αφού καθένας τους θα παίξει με όλους τους υπόλοιπους αγωνιζόμενους, πλήθους $x-1$ , σε διπλούς αγώνες, θα πραγματοποιηθούν, συνολικά, $x\cdot(x-1)}$ αγώνες.

Για να καταλάβετε πως προκύπτει αυτός ο τύπος, ας ανοίξουμε μια παρένθεση:

Αν, για παράδειγμα, συμμετείχαν $x=3$ μαθητές, οι Α, Β και Γ, τότε, ο Α θα παίξει, ακριβώς, 2 παιχνίδια, έχοντας εκείνος την πρώτη κατοχή, ένα με τον Β και ένα με τον Γ. Παρόμοια, το ίδιο θα συμβεί με τον Β, με αντιπάλους τους Α και Γ, όπως και με τον Γ, με αντιπάλους τους Α και Β. Συνεπώς, συνολικά, θα δοθούν $3\cdot 2=6$ ή $3\cdot(3-1)$ παιχνίδια. (Μη ξεχνάτε ότι τα παιχνίδια είναι διπλά.)

Έτσι, επιστρέφοντας στο πρόβλημα, η προϋπόθεση που έθεσε ο υπεύθυνος καθηγητής, αλγεβρικά, διατυπώνεται με τη βοήθεια της παρακάτω ανίσωσης,

$x\cdot(x-1)\leq20.$

Τελικά, μετά την εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας, προκύπτει η β΄ βαθμού ανίσωση,

$x^2-x-20\leq 0,$

όπου μεταφέραμε όλους τους όρους της στο α΄ μέλος της. Έτσι, στο α΄ μέλος, σχηματίστηκε το τριώνυμο $x^2-x-20$ , καθώς απομένει το $0$ στο β΄ μέλος της. Όπως θα διαπιστώσουμε, αυτό εξυπηρετεί την επίλυση της ανίσωσης.

Διότι, αν γινόταν γνωστό το πρόσημο του τριωνύμου, $x^2-x-20$ , για τις διάφορες τιμές του $x$ , τότε, οι λύσεις της ανίσωσης θα συμπεριελάμβαναν τις ρίζες του τριωνύμου κι εκείνες τις τιμές του $x$ για τις οποίες το τριώνυμο είναι αρνητικό. Τελικά, με ποιον τρόπο θα μπορούσε να προσδιοριστεί το πρόσημο μιας τέτοιας παράστασης;

Δυσκολίες στην εύρεση του προσήμου ενός τριωνύμου

Η αλγεβρική μορφή, $x^2-x+20$ , του τριωνύμου του παραπάνω προβλήματος, ως άθροισμα προσθετέων, αποτελεί τη βασική αιτία για την οποία είναι δύσκολο να βρεθεί, για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής του, το πρόσημό του.

Ας το δούμε, πιο γενικά, π.χ. στην περίπτωση ενός αθροίσματος τριών προσθετέων,

$A=\kappa+\lambda+\mu.$

Άραγε, πότε το παραπάνω άθροισμα, $A$ , γίνεται θετικό;

Σίγουρα, αυτό συμβαίνει όταν $\kappa,\lambda,\mu>0$ , αλλά αυτό, μάλλον, είναι, μονάχα, μια ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, $6-7+2=1>0$ , χωρίς να είναι οι τρεις προσθετέοι, $6,-7,2$ θετικοί. Συνεπώς, δε μπορούμε εύκολα να προβούμε σε καθολικά συμπεράσματα για τις δυνατές περιπτώσεις αναφορικά με το πρόσημο των επιμέρους προσθετέων.

Από την άλλη πλευρά, το πρόσημο των αλγεβρικών εκφράσεων προσδιορίζεται ευκολότερα όταν αυτές είναι παραγοντοποιημένες. Σε μια τέτοια περίπτωση, αν βρεθεί, ξεχωριστά, το πρόσημο του κάθε παράγοντα, τότε, δε θα μπορούσε, άμεσα, να προκύψει το πρόσημο του γινομένου;

Για παράδειγμα, η παράσταση $B=u\cdot v\cdot w$ , είναι θετική σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

Όταν $u,v,w>0$ .
Όταν $u>0$ και $v,w<0$ .
Όταν $v>0$ και $u,w<0$ .
Όταν $w>0$ και $u,v<0$ .

Παρόμοια, μπορούμε να καλύψουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για το πρόσημο των παραγόντων $u,v,w$ στην περίπτωση που η παράσταση $B$ είναι αρνητική.

Επομένως, το κλειδί για την εύρεση του προσήμου ενός τριωνύμου, για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής του, είναι η παραγοντοποίησή του, όταν, βέβαια, το τριώνυμο παραγοντοποιείται.

Πρόσημο τριωνύμου, με θετική διακρίνουσα, μέσω παραγοντοποίησης

Θυμάστε τον τρόπο παραγοντοποίησης ενός τριωνύμου στις περιπτώσεις όπου αυτό είναι εφικτό;

Εφαρμόζοντας, λοιπόν, στο τριώνυμο $x^2-x-20$ , τον τύπο

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)(x-x_2),$

παρατηρούμε ότι:

$\alpha=1, \beta=-1,\gamma=-20$
$\Delta=\beta^2-4\cdot\alpha\cdot\gamma=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-20)=81$
$x_{1,2}=\dfrac{-\beta\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot\alpha}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm 9}{2}$ , οπότε $x_1=-4$ και $x_2=5$ .
$x^2-x-20=\big(x-(-4)\big)(x-5)=(x+4)(x-5)$

Αυτό που απομένει είναι να προσδιοριστούν τα πρόσημα των παραστάσεων $x+4$ και $x-5$ για τις διάφορες τιμές του $x$ . Ουσιαστικά, επιλύουμε ανισώσεις α΄ βαθμού. Έχουμε:

$x+4>0\Leftrightarrow x>-4$ .
$x+4<0\Leftrightarrow x<-4$ .
$x-5>0\Leftrightarrow x>5$ .
$x-5<0\Leftrightarrow x<5$ .

Συνεπώς, $x^2-x-20>0\Leftrightarrow (x+4)(x-5)>0\Leftrightarrow (x+4>0$ και $x-5>0)$ ή $(x+4<0$ και $x-5<0)\Leftrightarrow (x>-4$ και $x>5)$ ή $(x<-4$ και $x<5)\Leftrightarrow x>5$ ή $x<-4$ .

Άρα, για την ανίσωση του προβλήματος, είναι,

$x^2-x-20\leq 0\Leftrightarrow -4\leq x\leq 5.$

Φυσικά, επειδή στο πρόβλημα, για το πλήθος $x$ των μαθητών που συμμετέχουν στο τουρνουά “ένας εναντίον ενός” ισχύει $x\geq 0$ , έχουμε,

$0\leq x\leq 5$

με την τιμή $5$ να φανερώνει το μέγιστο πλήθος μαθητών που μπορούν να λάβουν μέρος.

Πίνακας προσήμου τριωνύμου με θετική διακρίνουσα

Τις περισσότερες φορές, αποδεικνύεται ιδιαίτερα βολικό το πρόσημο ενός τριωνύμου, για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής του, να παρασταθεί με τη βοήθεια ενός κατάλληλου πίνακα.

Ενδεικτικά, να παρατηρήσετε τον ακόλουθο πίνακα προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c c c c c|} \hline x & -\infty & & -4 & & 5 & & +\infty \\ \hline x+4 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x-5 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline (x+4)(x-5) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array},$

για το τριώνυμο $x^2-x-20=(x+4)(x-5)$ .

Όμως, πως συμπληρώνεται ένα τέτοιος πίνακας;

Συμπλήρωση του πίνακα προσήμου

Μια πρώτη επισήμανση είναι ότι οι ρίζες του τριωνύμου οριοθετούν τα υπόλοιπα κελιά του πίνακα. Επιπλέον:

Στην πρώτη σειρά του πίνακα, δίπλα στη μεταβλητή, $x$ , του τριωνύμου, αναφέρονται οι δυνατές τιμές της που είναι όλοι οι (πραγματικοί) αριθμοί ανάμεσα στο $-\infty$ (πλην άπειρο) και στο $+\infty$ (συν άπειρο). Ακόμη, ανάμεσα στα δύο σύμβολα, $-\infty$ και $+\infty$ , αναγράφουμε τις ρίζες $-4$ και $5$ του τριωνύμου. Ένα σημείο που πρέπει να είμαστε προσεκτικοί είναι η σειρά των ριζών στον πίνακα: Πρώτα σημειώνουμε τη μικρότερη και μετά τη μεγαλύτερη.
Στη δεύτερη σειρά του πίνακα, δίπλα στον παράγοντα, $x+4$ , του τριωνύμου, καταγράφεται το πρόσημο αυτού του παράγοντα, για τις αντίστοιχες τιμές του $x$ . (Όλες οι δυνατές τιμές του $x$ δηλώνονται στην πρώτη σειρά του πίνακα.) Ακόμη, ο αριθμός $0$ , ακριβώς κάτω από την τιμή $-4$ , εκφράζει τον μηδενισμό του $x+4$ όταν $x=-4$ . Τι παρατηρείτε για το πρόσημο του $x+4$ αριστερά / δεξιά του $-4$ ή, αντίστοιχα, όταν $x<-4$ / $x>-4$ ; Συμφωνείτε ότι είναι αρνητικό / θετικό; Άλλωστε, επιλύοντας, αναλυτικά, την ανίσωση $x+4<0$ βρίσκουμε $x<-4$ . Οπότε, στο κελί της δεύτερης σειράς του πίνακα, αριστερά του $-4$ το πρόσημο είναι $-$ . Όμοια, στα κελιά της δεύτερης σειράς του πίνακα, που βρίσκονται δεξιά του $-4$ τα πρόσημα είναι $+$ .
Στην τρίτη σειρά του πίνακα καταγράφεται, παρόμοια, στα αντίστοιχα κελιά, το πρόσημο του παράγοντα, $x-5$ , του τριωνύμου.
Στην τελευταία σειρά του πίνακα, εμφανίζεται, δίπλα στην έκφραση, $(x+4)(x-5)$ ή $x^2-x-20$ , του τριωνύμου, το πρόσημό του, από τους γνωστούς κανόνες ( $(+)\cdot(+)=(+)$ , $(+)\cdot(-)=(-)$ , $(-)\cdot(-)=(+)$ και $(-)\cdot(-)=(+)$ ) υπολογισμού του προσήμου γινομένου παραστάσεων. Τα μηδενικά, $0$ , στην τελευταία σειρά του πίνακα, ακριβώς κάτω από τις τιμές, $-4$ και $5$ , της πρώτης σειράς του, δηλώνουν ότι οι συγκεκριμένες τιμές, εκτός από ρίζες των παραγόντων του, αποτελούν, προφανώς, τις ρίζες και του ίδιου του τριωνύμου.

Άλλα δύο παραδείγματα πινάκων προσήμου τριωνύμων με διακρίνουσα θετική

Από τη μια μεριά, για το τριώνυμο $2x^2-8x+6$ , είτε με τη βοήθεια των τύπων του Viete είτε με τη γνωστή μέθοδο επίλυσης μιας εξίσωσης β΄ βαθμού, εύκολα, βρίσκουμε ότι έχει ρίζες τους αριθμούς $1$ και $3$ . Έτσι,

$2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3),$

που σημαίνει ότι προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c c c c c|} \hline x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline x-1 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x-3 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline 2(x-1)(x-3) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}.$

Από την άλλη μεριά, για το τριώνυμο $-2x^2+8x-6$ , με ρίζες, πάλι, τους αριθμούς $1$ και $3$ , έχουμε $-2x^2+8x-6=-2(x-1)(x-3)$ .

Άρα, προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c c c c c|} \hline x & -\infty & & 1 & & 3 & & +\infty \\ \hline x-1 & & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x-3 & & - & | & - & 0 & + & \\ \hline -2(x-1)(x-3) & &- & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}.$

Παρατηρείτε τη διαφορά, ως προς το μοτίβο των προσήμων των τριωνύμων, $2x^2-8x+6$ και $-2x^2+8x-6$ , στην τελευταία σειρά των δύο πινάκων;

Αυτή η διαφορά οφείλεται στο διαφορετικό πρόσημο του συντελεστή $\alpha$ στα δύο τριώνυμα. (Πράγματι, για τα δύο τριώνυμα, $2x^2-8x+6$ και $-2x^2+8x-6$ , ισχύει $\alpha=2$ και $\alpha=-2$ , αντίστοιχα.)

Ωστόσο, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το πρόσημο των δύο τριωνύμων υπακούει σ’ έναν ενιαίο κανόνα:

Μόνο σε μία περίπτωση είναι το αντίθετο (ετερόσημο) από το πρόσημο του συντελεστή τους $\alpha$ . Λοιπόν, αυτό συμβαίνει όταν η μεταβλητή τους, $x$ , βρίσκεται ανάμεσα στις δύο ρίζες τους. (Να παρατηρήσετε το μεσαίο κελί στην τελευταία σειρά των δύο πινάκων.)

Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, δηλαδή όταν η μεταβλητή τους βρίσκεται αριστερά της μικρότερης ρίζας του τριωνύμου ή δεξιά της μεγαλύτερης ρίζας του, το πρόσημό τους είναι το ίδιο (ομόσημο) με το πρόσημο του συντελεστή τους $\alpha$ . (Να παρατηρήσετε, αντίστοιχα, τα κελιά αριστερά και δεξιά του μεσαίου κελιού στην τελευταία σειρά των δύο πινάκων.)

Συντόμευση του πίνακα προσήμου

Ενδεχομένως, να μπορούσαμε, ακολουθώντας τον προηγούμενο κανόνα, να συμπληρώσουμε ένα συντομότερο πίνακα προσήμου.

Τελικά, είναι αρκετό ο πίνακας να περιλαμβάνει δύο σειρές: στην πρώτη σειρά του καταγράφουμε τις δυνατές τιμές της μεταβλητής, $x$ , του τριωνύμου, σημειώνοντας, ιδιαίτερα, τις ρίζες του και στη δεύτερη σειρά του το πρόσημό του στα αντίστοιχα διαστήματα.

Για παράδειγμα, το πρόσημο του τριωνύμου, $2x^2-10x+12$ , για τις διάφορες τιμές του $x$ , σημειώνεται στον παρακάτω πίνακα,

$\begin{array}{|c|c c c c c c c|} \hline x & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline 2x^2-10x+12 & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}.$

Πρόσημο τριωνύμου με διακρίνουσα μηδέν ή αρνητική

Σε όλα τα προηγούμενα παραδείγματα, η διακρίνουσα των τριωνύμων ήταν θετική οπότε τα τριώνυμα είχαν δύο ρίζες. Άραγε, σε τι συμπεράσματα μπορούμε να οδηγηθούμε, σχετικά με το πρόσημο ενός τριωνύμου, όταν αυτό έχει:

Διακρίνουσα ίση με το $0$ ;
Διακρίνουσα αρνητική;

Διακρίνουσα ίση με το μηδέν

Ας θεωρήσουμε το τριώνυμο $3x^2-12x+12$ .

Είναι, $\Delta=(-12)^2-4\cdot 3 \cdot 12=144-144=0$ , οπότε το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα,

$x_0=-\dfrac{\beta}{2\cdot\alpha}=-\dfrac{-12}{2\cdot 3}=2.$

Συνεπώς, το τριώνυμο παραγοντοποιείται. Μάλιστα, εφαρμόζοντας τον τύπο,

$\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_0)^2,$

προκύπτει ότι,

$3x^2-12x+12=3(x-2)^2.$

Από την τελευταία ισότητα, συμπεραίνουμε ότι το τριώνυμο είναι παντού θετικό, ή, αλλιώς, ομόσημο του συντελεστή του, $\alpha=3>0$ , με εξαίρεση τη ρίζα του, δηλαδή όταν $x=2$ .

Άρα, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c c c|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline 3(x-2)^2 & &+ & 0 & + & & \hline\end{array}.$

Παρόμοια, για το τριώνυμο $-3x^2+12x-12$ , έχουμε, $-3x^2+12x-12=-3(x-2)^2$ . Άρα, το πρόσημό του είναι αυτό που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα,

$\begin{array}{|c|c c c c c|} \hline x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline -3(x-2)^2 & &- & 0 & - & & \hline\end{array}.$

Πάλι, για το τριώνυμο, διαπιστώνουμε ότι είναι ομόσημο του συντελεστή του, $\alpha=-3<0$ , με εξαίρεση τη ρίζα του.

Διακρίνουσα αρνητική

Ας θεωρήσουμε το τριώνυμο $2x^2+4x+6$ .

Είναι, $\Delta=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32<0$ , οπότε το τριώνυμο δεν έχει καμία ρίζα και δεν παραγοντοποιείται. Ωστόσο, παρατηρούμε ότι αυτό γράφεται,

$2x^2+4x+6=2(x^2+2x+1)+4=2(x+1)^2+4.$

Επομένως, το τριώνυμο είναι παντού θετικό, ή, αλλιώς, ομόσημο του συντελεστή του, $\alpha=2>0$ .

Ο πίνακας προσήμου του μπορεί να συμπληρωθεί όπως παρακάτω.

$\begin{array}{|c|c c c|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline 2x^2+4x+6 & & + & \\ \hline\end{array}.$

Παρόμοια, για το τριώνυμο $-2x^2-4x-6=-2(x+1)^2-4$ , έχουμε τον ακόλουθο πίνακα προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline -2x^2-4x-6 & & - & \\ \hline\end{array},$

που σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι παντού ομόσημο του συντελεστή του, $\alpha=-2<0$ .

Τα γενικά συμπεράσματα

Υπάρχει ένας γενικός κανόνας για το πρόσημο του τριωνύμου,

$\alpha x^2 +\beta x+\gamma,$

με $\alpha\neq0$ :

Το τριώνυμο, σε κάθε περίπτωση, είναι ομόσημο του συντελεστή, $\alpha$ , του $x^2$ για όλες τις τιμές τις μεταβλητής του $x$ με μοναδικές εξαιρέσεις:

Όταν το $x$ ισούται με κάποια ρίζα του τριωνύμου διότι εκεί το τριώνυμο μηδενίζεται.
Όταν το $x$ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες του τριωνύμου – στην περίπτωση όπου $\Delta>0$ – διότι εκεί το τριώνυμο είναι ετερόσημο του $\alpha$ .

Η διαδραστική εφαρμογή

Θα επιθυμούσατε να ελέγξετε τις γνώσεις σας στη συγκεκριμένη ενότητα με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής;

Η εφαρμογή αναφέρεται στη σωστή συμπλήρωση ενός πίνακα προσήμου. Ακόμη, παρέχει κατάλληλες υποδείξεις και βοήθειες. Επιπλέον, σας δίνει τη δυνατότητα ελέγχου των απαντήσεών σας.

Καλή ενασχόληση!

Αν δε σας καλύπτουν οι διαστάσεις της εφαρμογής ή αν η εφαρμογή δεν εμφανίζεται, καθόλου, μπορείτε να την τρέξετε σε νέα καρτέλα .

Ανισώσεις δεύτερου βαθμού

Από τα προηγούμενα, μάλλον, έγινε κατανοητός ο απώτερος στόχος της εύρεσης του προσήμου ενός τριωνύμου. Αυτός δεν είναι άλλος από την επίλυση κάποιας αντίστοιχης ανίσωσης δεύτερου βαθμού. Άλλωστε, η επίλυση του προβλήματος με τον μέγιστο αριθμό μαθητών, για το τουρνουά “ένας εναντίον ενός”, οδήγησε σε μια τέτοια ανίσωση.

Προτού προχωρήσουμε μια μικρή συμβουλή:

Αν δυσκολεύεστε με τους συμβολισμούς των διαστημάτων, τα σύμβολα ανισότητας και γενικά με θέματα διάταξης πραγματικών αριθμών μπορείτε να ανατρέξετε εδώ.

Ας δούμε, τώρα, μερικά ακόμη παραδείγματα ανισώσεων δεύτερου βαθμού.

Παραδείγματα με διακρίνουσα θετική

Δίνεται η ανίσωση $x^2-5x+4\geq 0$ . Για να επιλύσουμε τη συγκεκριμένη ανίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα.

Αρχικά, βρίσκουμε τη διακρίνουσα, $\Delta$ του τριωνύμου και – αν υπάρχουν – τις ρίζες του. Εδώ, είναι $\Delta=9$ και $x_1=1,x_2=4$ .

Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε το πρόσημο του τριωνύμου $x^2-5x+4$ , για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής του $x$ , συμπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα προσήμου.

$\begin{array}{|c|c c c c c c c|} \hline x & -\infty & & 1 & & 4 & & +\infty \\ \hline x^2-5x+4 & &+ & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}.$

Οπότε, για την ανίσωση, $x^2-5x+4\geq 0$ , αναζητούμε, με βάση την τελευταία σειρά του πίνακα, εκείνες τις τιμές του $x$ για τις οποίες το τριώνυμο $x^2-5x+4$ μηδενίζεται ( $0$ ) ή γίνεται θετικό ( $+$ ).

Οι τιμές αυτές, που επαληθεύουν την ανίσωση, εντοπίζονται με τη βοήθεια της πρώτης σειράς του πίνακα. Συγκεκριμένα, βρίσκονται, στις αντίστοιχες θέσεις της πρώτης σειράς, ακριβώς πάνω από τα δύο $0$ και από τα δύο $+$ της τελευταίας σειράς του πίνακα.

Συνεπώς, $x^2-5x+4\geq 0\Leftrightarrow x\in(-\infty,1]\cup[4,+\infty)$ . Να δώσετε προσοχή στα διαστήματα, $(-\infty,1]$ και $[4,+\infty)$ , τα οποία είναι κλειστά στις θέσεις, $1$ και $4$ , των ριζών του τριωνύμου.

Αυτό δηλώνεται με τις αγκύλες “ $]$ ” και “ $[$ ” που σημαίνουν ότι συμπεριλαμβάνονται, αντίστοιχα, οι αριθμοί $1$ και $4$ στις λύσεις της ανίσωσης.

Εναλλακτικά, οι λύσεις της ανίσωσης παριστάνονται, ανισοτικά, ως εξής: $x\leq 1$ ή $x\geq 4$ .

Παρόμοια, ας θεωρήσουμε την ανίσωση $x^2-5x+4>0$ . Από τον προηγούμενο πίνακα προσήμου, έχουμε, $x^2-5x+4>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$ .

Η διαφορά των ανισώσεων $x^2-5x+4\geq 0$ και $x^2-5x+4>0$ έγκειται στον αποκλεισμό των ριζών $1$ και $4$ από το σύνολο των λύσεων της δεύτερης ανίσωσης. Αυτό δηλώνεται, κατά την επίλυση της δεύτερης ανίσωσης, με τη χρήση των ανοικτών διαστημάτων $(-\infty,1)$ και $(4,+\infty)$ . Εδώ, οι παρενθέσεις “ $)$ ” και “ $($ ” φανερώνουν ότι δε συμπεριλαμβάνονται, αντίστοιχα, οι αριθμοί $1$ και $4$ στις λύσεις της ανίσωσης.

Εναλλακτικά, οι λύσεις της ανίσωσης, $x^2-5x+4>0$ , παριστάνονται, ανισοτικά, ως εξής: $x<1$ ή $x>4$ .

Τέλος, ας θεωρήσουμε την ανίσωση $x^2-5x+4<0$ . Από τον προηγούμενο πίνακα προσήμου, έχουμε, $x^2-5x+4<0\Leftrightarrow x\in(1,4)$ . Δηλαδή, ανισοτικά, οι λύσεις της ανίσωσης παριστάνονται ως εξής: $1<x<4$ .

Το βίντεο – μάθημα

Στο παρακάτω βίντεο, παρουσιάζεται, εποπτικά, η εύρεση του προσήμου τριωνύμων που έχουν διακρίνουσα $\Delta>0$ . Επίσης, με τη βοήθεια αυτού του βίντεο, μπορείτε να δείτε πως αξιοποιείται η εύρεση του προσήμου του τριωνύμου για την επίλυση ανισώσεων β΄ βαθμού. Έτσι, προσφέρεται ένας εναλλακτικός τρόπος για να εμπεδώσετε τις έννοιες αυτής της ενότητας.

Καλή προβολή!

Παραδείγματα με διακρίνουσα μηδέν

Δίνεται η ανίσωση, $-x^2+6x-9<0$ . Είναι, $\Delta=36-4\cdot(-1)\cdot(-9)=0$ , άρα το τριώνυμο είναι, για κάθε $x$ , με εξαίρεση τη ρίζα του $x=3$ , ομόσημο του $\alpha=-1<0$ , δηλαδή αρνητικό.

Άρα, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c c c|} \hline x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline -x^2+6x-9 & &- & 0 & - & & \hline\end{array}.$

Έτσι, $-x^2+6x-9<0\Leftrightarrow x\neq 3$ .

Αλλιώς, οι λύσεις της $-x^2+6x-9<0$ είναι τα $x$ με $x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$ . Κάποιες φορές προτιμούμε και τον συμβολισμό $x\in{\mathbb{R}}-\{3\}$ . (Το $\mathbb{R}$ είναι το σύνολο $(-\infty,+\infty)$ των πραγματικών αριθμών. Ο συμβολισμός $x\in\mathbb{R}-\{3\}$ σημαίνει ότι το $x$ μπορεί να λάβει οποιασδήποτε πραγματική τιμή με εξαίρεση την τιμή $3$ .)

Παρόμοια, όπως προκύπτει από τον ίδιο πίνακα προσήμου:

η ανίσωση $-x^2+6x-9>0$ είναι αδύνατη, ενώ,
η ανίσωση $-x^2+6x-9\geq 0$ έχει τη $x=3$ ως μοναδική λύση.

Παραδείγματα με διακρίνουσα αρνητική

Για την ανίσωση $x^2+x+1>0$ παρατηρούμε ότι $\Delta=-3<0$ , άρα το τριώνυμο είναι, πάντοτε, ομόσημο του $\alpha=1$ , δηλαδή θετικό. Αυτό φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα προσήμου,

$\begin{array}{|c|c c c|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline x^2+x+1 & & + & \\ \hline\end{array}.$

Συνεπώς, $x^2+x+1>0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}$ . (Η συνθήκη $x\in\mathbb{R}$ φανερώνει ότι η ανίσωση επαληθεύεται από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Άλλωστε, σ’ αυτό το συμπέρασμα δεν καταλήξαμε από την τελευταία σειρά του πίνακα προσήμου;)

Από την άλλη μεριά, για την ανίσωση, $x^2+x+1\leq 0$ , παρατηρούμε, από τον προηγούμενο πίνακα, ότι είναι αδύνατη.

Αντί επιλόγου

Είδαμε πως, με ένα απλό πινακάκι προσήμων, μπορεί να ξεκαθαρίσει το πρόσημο ενός τριωνύμου. Έπειτα, διαπιστώσαμε ότι ένας τέτοιος πίνακας μπορεί να αξιοποιηθεί για την επίλυση ανισώσεων δεύτερου βαθμού.

Ωστόσο, το πρόσημο ενός τριωνύμου δεν είναι, αποκλειστικά, αλγεβρική υπόθεση. Γεωμετρικά, καθορίζεται από τον προσανατολισμό της παραβολής, που αποτελεί το γράφημα της αντίστοιχης συνάρτησης του τριωνύμου. Προφανώς, το πρόσημο του τριωνύμου εξαρτάται και από τη θέση της παραβολής αναφορικά με τον οριζόντιο άξονα $x'x$ .