Ανισώσεις πρώτου βαθμού

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι ανισώσεις πρώτου βαθμού εγκαινιάζουν το κεφάλαιο των ανισώσεων στην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου. Με τις ανισώσεις, γενικά, θα μπορούσε να διευρυνθεί το φάσμα των προβλημάτων που αντιμετωπίζονται με αλγεβρικές μεθόδους. Άλλωστε, τις περισσότερες φορές, εκφράσεις όπως «μεγαλύτερο / μικρότερο από», «τουλάχιστον / το πολύ» κυριαρχούν στην καθημερινότητά μας.

Τελικά, όπως χαρακτηριστικά έλεγε ο κορυφαίος Γερμανός Μαθηματικός D. Hilbert (1862 – 1943), η ισότητα, μάλλον, παρουσιάζεται ως μια ειδική περίπτωση.

Στις ανισώσεις α΄ βαθμού, ειδικά, η διαδικασία επίλυσης έχει πολλά κοινά με τη γνώριμη διαδικασία επίλυσης των εξισώσεων α΄ βαθμού. Ο χωρισμός γνωστών από αγνώστους όπως και η αναγωγή όμοιων όρων που, συνήθως, ακολουθεί αποτελούν βασικό μέρος των αλγεβρικών χειρισμών. Ιδιαίτερη προσοχή χρήζει η διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου διότι, από τις ιδιότητες της διάταξης, η φορά της ανίσωσης δεν παραμένει πάντοτε ίδια. Συγκεκριμένα, αν $\alpha<\beta$ και $\gamma>0$ , τότε, $\frac{\alpha}{\gamma}<\frac{\beta}{\gamma}$ , ενώ αν $\alpha<\beta$ και $\gamma<0$ , τότε, $\frac{\alpha}{\gamma}>\frac{\beta}{\gamma}$ .

Ας επισημανθεί ότι, όταν μια ανίσωση α΄ βαθμού δεν είναι αδύνατη, τότε – αν δε συντρέχουν επιπλέον περιορισμοί – οι λύσεις της είναι άπειρες και όχι μία και μοναδική. Αυτό είναι μια σημαντική διαφορά σε σχέση με τις εξισώσεις α΄ βαθμού. Για παράδειγμα, μια ανισοτική σχέση όπως η $2x>10$ επαληθεύεται από όλους τους αριθμούς $x$ , οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση $x>5$ . Προφανώς, το πλήθος τους είναι άπειρο. Πρόκειται για όλους τους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του $5$ και βρίσκονται, στην ευθεία των αριθμών, δεξιότερα σε σχέση με το $5$ .Από την άλλη μεριά, μπορεί μια ανίσωση να μην έχει καμία λύση, όπως η $0x>30$ , ή να επαληθεύεται από όλους τους πραγματικούς αριθμούς, όπως η $0x>-30$ .

Διερεύνηση για τις ανισώσεις πρώτου βαθμού

Ειδικές περιπτώσεις

Θεωρούμε την ανίσωση $3x+11<20$ . Κατά την επίλυσή της, μπορούμε να ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Αφαιρούμε το $11$ , από τα δύο μέλη της ανίσωσης, οπότε προκύπτει η ανίσωση, $3x+11-11<20-11$ , η οποία γράφεται, $3x<9$ .
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης με τον συντελεστή, $3$ , του αγνώστου $x$ . Έτσι, έχουμε, $\frac{3x}{3}<\frac{9}{3}$ , άρα οι τιμές, $x$ , με $x<3$ , είναι, τελικά, οι λύσεις της ανίσωσης. Να λάβετε υπόψη ότι η τελευταία ανισοτική σχέση επαληθεύεται και από αριθμούς που δεν είναι ακέραιοι όπως π.χ. το $2,99$ , το $0,54$ , το $-\frac{4}{3}$ κ.ά..Παρόμοια, για την ανίσωση $-4x+1>13$ , παρατηρούμε ότι, γράφεται, διαδοχικά,
$\begin{align*}-4x+1>13&\Leftrightarrow -4x+1-1>13-1\\&\Leftrightarrow -4x>12\\&\Leftrightarrow\frac{-4x}{-4}<\frac{12}{-4}\\&\Leftrightarrow x<-3.\end{align*}$
(Μπορείτε να παρατηρήσετε την αλλαγή φοράς στην ανισότητα κατά τη διαίρεση με τον αρνητικό συντελεστή $-3$ .)

Κοινές λύσεις

Στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για τις κοινές λύσεις δύο ανισώσεων, μπορούμε να επιλύσουμε, ξεχωριστά, καθεμία από αυτές και, στη συνέχεια, να προσδιορίσουμε εκείνες τις λύσεις που επαληθεύουν και τις δύο ανισώσεις.

Για παράδειγμα, για να βρούμε τις τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει, $3<4x-1<7$ , παρατηρούμε ότι,

$\begin{align*}3<4x-1<7&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3<4x-1\\4x-1<7\end{array} \right.\\&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4<4x\\4x<8\end{array} \right.\\&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1<x\\x<2\end{array} \right.\\&\Leftrightarrow 1<x<2.\end{align*}$

Συντελεστής αγνώστου μηδέν

Φυσικά, ενώ πάντα μπορούμε να προσθέτουμε στα μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό, ωστόσο, κατά τη διαίρεση, πρέπει να είναι διασφαλισμένο ότι ο διαιρέτης δεν είναι ίσος με το $0$ . Οπότε, πως μπορούμε να επιλύσουμε ανισώσεις όπου ο συντελεστής του αγνώστου είναι ο αριθμός $0$ ; Ας δούμε δύο παραδείγματα.

Έστω, αρχικά, η ανίσωση, $0x-5>2$ . Για την επίλυσή της, θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Προσθέτουμε το $5$ και στα δύο μέλη της ανίσωσης, οπότε προκύπτει η ανίσωση, $0x-5+5>2+5$ , δηλαδή, τελικά, $0x>7$ .
Δε μπορούμε να διαιρέσουμε φυσικά με το $0$ , ωστόσο, δε χρειάζεται να κάνουμε και πολλά περισσότερα. Η ανίσωση είναι, προφανώς, αδύνατη διότι για οποιαδήποτε τιμή του $x$ το αποτέλεσμα της πράξης $0x$ ισούται με το $0$ το οποίο, φυσικά, είναι μικρότερο από το $7$ και όχι μεγαλύτερο όπως απαιτεί η συγκεκριμένη ανίσωση.

Έστω, επίσης, η ανίσωση, $0x+7>2$ . Για την επίλυσή της, θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

Αφαιρούμε το $7$ , από τα δύο μέλη της ανίσωσης, οπότε προκύπτει η ανίσωση, $0x>-5$ .
Πάλι δε μπορούμε να διαιρέσουμε με το $0$ , ωστόσο, αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι η ανίσωση είναι αδύνατη. Εδώ, ειδικά, όχι μόνο δεν είναι αδύνατη αλλά επαληθεύεται από οποιονδήποτε (πραγματικό) αριθμό. Οποιοσδήποτε αριθμός, $x$ , κι αν πολλαπλασιαστεί επί το $0$ δίνει αποτέλεσμα $0$ που, προφανώς, είναι μεγαλύτερο από το $-5$ , όπως, δηλαδή, απαιτείται σύμφωνα με το β΄ μέλος της ανίσωσης.

Η γενική περίπτωση για τις ανισώσεις πρώτου βαθμού

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε ανίσωση α΄ βαθμού μπορεί να λάβει είτε τη μορφή $\alpha x+\beta>0$ είτε τη μορφή $\alpha x+\beta\geq0$ .

Ενδεικτικά, η ανίσωση $9x+22<4$ , γράφεται, ισοδύναμα,

$9x+18<0\Leftrightarrow -9x-18>0,$

οπότε είναι της μορφής $\alpha x+\beta>0$ , με $\alpha=-9$ και $\beta=-18$ .

Θα διερευνήσουμε τη γενική μορφή μιας ανίσωσης πρώτου βαθμού, $\alpha x +\beta>0$ , όπου $\alpha$ και $\beta$ είναι πραγματικοί αριθμοί. (Η μορφή $\alpha x+\beta\geq0$ αντιμετωπίζεται παρόμοια.)

Αρχικά, παρατηρούμε ότι:

$\begin{align*}\alpha x +\beta>0 &\Leftrightarrow \alpha x+\beta-\beta >0-\beta \\&\Leftrightarrow \alpha x >-\beta.\end{align*}$

Έτσι, διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\alpha>0$ . Τότε, η ανίσωση γράφεται $\frac{\alpha}{\alpha} x >-\frac{\beta}{\alpha}$ , οπότε έχει άπειρες λύσεις, $x$ , όπου $x>-\frac{\beta}{\alpha}$ .
$\alpha<0$ . Τότε, η ανίσωση γράφεται $\frac{\alpha}{\alpha} x <-\frac{\beta}{\alpha}$ , οπότε έχει άπειρες λύσεις, $x$ , όπου $x<-\frac{\beta}{\alpha}$ .
$\alpha=0$ . Η ανίσωση γράφεται, $0x>-\beta$ . Έτσι, έχουμε δύο υποπεριπτώσεις:
- $\beta>0$ . Η ανίσωση αληθεύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .
- $\beta\leq 0$ . Η ανίσωση είναι αδύνατη.

Στις ακόλουθες διαδραστικές ερωτήσεις – ασκήσεις, μπορείτε να δοκιμάσετε να επιλύσετε ορισμένες ανισώσεις πρώτου βαθμού.

Διαδραστικές ασκήσεις

Ανισώσεις με απόλυτες τιμές (Αλγεβρικά)

Στο άρθρο Απόλυτη τιμή αριθμού και απόσταση είδαμε τον τρόπο όπου, με τη βοήθεια της γεωμετρικής ερμηνείας της απόλυτης τιμής ενός αριθμού και της διαφοράς δύο αριθμών, μπορούν να επιλυθούν ανισώσεις με απόλυτες τιμές. Εδώ, θα προτιμήσουμε έναν περισσότερο αλγεβρικό τρόπο μέσα από την διαπραγμάτευση των παρακάτω παραδειγμάτων.

Η ανίσωση, $|x|<10$ επαληθεύεται απ’ όλους τους αριθμούς οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη από το $10$ . Οι αριθμοί αυτοί μπορεί να είναι τόσο θετικοί όσο και αρνητικοί. Σίγουρα, θα πρέπει να είναι μικρότεροι από το $10$ όπως π.χ. οι $9,87$ , $8$ , $7$ , $2$ , $0,02$ , $0$ κ.ά.. (Ενδεικτικά, $|9,87|=9,87<10$ .) Συγχρόνως οι αριθμοί που επαληθεύουν την $|x|<10$ δε μπορεί να είναι μικρότεροι από το $-10$ αφού π.χ. $|-10,2|=10,2>10$ , $|-11|=11>10$ κ.ο.κ.. Άρα, τελικά, $-10<x<10$ που σημαίνει ότι, $x\in(-10,10)$ .
Η ανίσωση, $|x|>4$ επαληθεύεται, αρχικά, απ’ όλους τους αριθμούς οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι από το $4$ . Για παράδειγμα, $|4,3|=4,3>4$ , $|4,1|=4,1>4$ κ.ο.κ.. Ωστόσο, αυτές δεν είναι οι μόνες λύσεις της ανίσωσης $|x|>4$ . Πράγματι, οι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το $-4$ έχουν, επίσης, απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από το $4$ . Ενδεικτικά, $|-4,6|=4,6>4$ , $|-5|=5>4$ κ.ο.κ.. Επομένως, τελικά, $x\in(-\infty,-4)\cup(4,+\infty)$ .
Η ανίσωση, $|x-2|\leq1$ , μπορεί να επιλυθεί άμεσα αφού, θέτοντας $\omega=x-2$ , γράφεται $|\omega|\leq1$ , άρα, $-1\leq\omega\leq1$ , συνεπώς, $-1\leq x-1\leq1$ . Έτσι,
$-1+1\leq x-1+1\leq1+1,$
οπότε, $0\leq x\leq2$ . Επομένως, $x\in[0,2]$ .
Η ανίσωση, $|x-3|>1$ , μπορεί να επιλυθεί άμεσα αφού, θέτοντας $\omega=x-3$ , γράφεται $|\omega|>1$ , άρα, $\omega>1$ ή $\omega<-1$ . Συνεπώς, $x-3>1$ ή $x-3<-1$ , έτσι, $x>4$ ή $x<2$ . Επομένως, $x\in(-\infty,2)\cup(4,+\infty)$ .