Η εξίσωση xⁿ = α - ΜαθηματιΚά

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Σην Άλγεβρα της Α΄ Λυκείου, η διερεύνηση της εξίσωσης $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ φυσικός αριθμός και $\alpha$ πραγματικός αριθμός, ακολουθεί, στη διάρθρωση της ύλης, τις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή τις εξισώσεις της μορφής $\alpha x+\beta=0$ , όπου $\alpha,\beta$ πραγματικοί αριθμοί με $\alpha\neq0$ .

Βέβαια, οι μαθητές έχουν έρθει σε επαφή και με εξισώσεις διαφορετικού τύπου των οποίων η επίλυση μπορεί να αναχθεί στην επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθμού. Παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων αποτελούν οι κλασματικές εξισώσεις, όπως η $\frac{2x-1}{2}=\frac{x+7}{4}$ , καθώς και οι εξισώσεις με απόλυτες τιμές, όπως η $|x-3|=2$ . Όμως, σε κάθε περίπτωση, ο εκθέτης εμφάνισης του αγνώστου $x$ στις εξισώσεις αυτές ήταν το $1$ .

Οπότε, οι εξισώσεις της μορφής $x^\nu=\alpha$ , όπως η $x^2=9$ , η $x^3=-125$ , η $x^4=16$ κ.ά. είναι οι πρώτες, κατά σειρά, εξισώσεις, με βαθμό μεγαλύτερο του $1$ , που μελετώνται στην Άλγεβρα του Λυκείου. Άλλωστε, οι εξισώσεις δεύτερου βαθμού, δηλαδή οι εξισώσεις της μορφής $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ , όπου $\alpha,\beta,\gamma$ πραγματικοί αριθμοί με $\alpha\neq0$ , αναπτύσσονται αμέσως μετά. Ένας λόγος γι’ αυτό, είναι ότι τα συμπεράσματα από την επίλυση της ειδικής περίπτωσης των εξισώσεων $x^{2}=\alpha$ χρησιμοποιούνται στη γενικότερη περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Μαθησιακά οφέλη

Φυσικά, η μελέτη των εξισώσεων της μορφής $x^\nu=\alpha$ προσφέρει πολλαπλά μαθησιακά οφέλη.

Πρώτα απ’ όλα, το συγκεκριμένο θέμα αποτελεί μια πρώτης τάξης ευκαιρία για επανάληψη και εμπέδωση της έννοιας της $\nu$ – οστής ρίζας, $\sqrt[\nu]{\alpha}$ , του αριθμού $\alpha$ .

Πραγματικά, κατά τη διαδικασία της επίλυσης εξισώσεων της μορφής $x^\nu=\alpha$ , εφαρμόζονται υπολογισμοί ριζών διάφορων τάξεων. Για παράδειγμα, όπως θα δούμε, η εξίσωση $x^3=64$ , έχει μοναδική λύση, η οποία, μάλιστα, εκφράζεται με τη βοήθεια μιας κυβικής ρίζας ή αλλιώς μιας ρίζας τρίτης τάξης. Συγκεκριμένα,

$x^3=64\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{64}=4.$

Από την άλλη πλευρά, τέτοιες εξισώσεις μπορούν να συνδεθούν με πραγματικές καταστάσεις. Ιδιαίτερα, επειδή ο όγκος, $V$ , του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, υπολογίζεται από το γινόμενο του μήκος του, επί το πλάτος του, επί το ύψος του, δηλαδή,

$V=\alpha\cdot\beta\cdot\gamma,$

θα δούμε προβλήματα όγκων τέτοιων στερεών να αντιμετωπίζονται χάρη στην επίλυση τέτοιων εξισώσεων.

Ίσως, το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής των εξισώσεων $x^\nu=\alpha$ , για $\nu=3$ , να είναι το πρόβλημα της εύρεσης της ακμής $x$ ενός κύβου – που αποτελεί ειδική περίπτωση ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου – όταν δίνεται ο όγκος του.

Ενδεικτικά, ποια είναι η ακμή (πλευρά) ενός κύβου με όγκο $8$ ;Προφανώς, η απάντηση προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης $x^3=8$ , οπότε $x=\sqrt[3]{8}=2$ .

Πρόκληση ενδιαφέροντος

Μία πισίνα, σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

Το μήκος της είναι τριπλάσιο από το πλάτος της.
Το ύψος (βάθος) της είναι το ένα τρίτο του πλάτους της.
Ο όγκος της, $V$ , είναι $27\,\textrm{m^3}$ .

Ποιο είναι το πλάτος της $x$ ;

Εφόσον το πλάτος της πισίνας είναι $x$ , τότε, το μήκος της θα είναι $3\cdot x$ , άρα το ύψος της ισούται με $\frac{1}{3}\cdot x=\frac{x}{3}$ .

Έτσι, για τον όγκο του, $V$ , ισχύει,

$V=\cancel{3}\cdot x \cdot x \cdot \frac{x}{\cancel{3}}=x\cdot x\cdot x=x^3.$

Συνεπώς, $V=27\Leftrightarrow x^3=27$ . Για να επιλύσουμε την εξίσωση, $x^3=27$ , σκεπτόμαστε ότι αυτό που αναζητούμε ( $x$ ) είναι εκείνος ο αριθμός ο οποίος, όταν υψωθεί σε εκθέτη ίσο με το $3$ , θα δώσει αποτέλεσμα το $27$ . Άρα, ο αριθμός αυτός είναι η $\sqrt[3]{27}$ , δηλαδή η τρίτη (κυβική) ρίζα του $27$ .

Τελικά, $x^3=27\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{27}=3$ , διότι, $3^3=27$ .

Συμπεράσματα

Ειδικές περιπτώσεις

Παρακάτω, θα δούμε ορισμένα παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων της μορφής $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ φυσικός αριθμός και $\alpha$ πραγματικός αριθμός.

Στα παραδείγματα αυτά, τόσο ο εκθέτης, $\nu$ , όσο και το β΄ μέλος, $\alpha$ , θα δίνονται. Επιπλέον, θα αναλύσουμε, αρκετά, το σκεπτικό της επίλυσης ώστε να ανακύψει με φυσικό τρόπο η γενική αντιμετώπιση.

Εκθέτης (n) άρτιος

Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα εξισώσεων της μορφής $x^\nu=\alpha$ , με τον εκθέτη $\nu$ να είναι άρτιος (ζυγός) αριθμός.

Αρχικά, όπως μπορείτε να αντιληφθείτε, η επίλυση της εξίσωσης $x^2=36$ οδηγεί στην αναζήτηση εκείνων των αριθμών, $x$ , οι οποίοι όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αποτέλεσμα $36$ . Προφανώς, $6^2=36$ , αλλά και $(-6)^2=(-6)\cdot(-6)=36$ , αφού, από τον κανόνα των προσήμων, ισχύει, $(-)\cdot(-)=+$ . Συνεπώς, $x=\pm 6$ .

Από την άλλη πλευρά, θα θυμάστε ότι η $\sqrt{36}$ παριστάνει τον μη αρνητικό αριθμό ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει αποτέλεσμα $36$ . Έτσι, οι λύσεις της εξίσωσης $x^2=36$ θα μπορούσαν να εκφραστούν με τη βοήθεια της προηγούμενης τετραγωνικής ρίζας. Πράγματι,

$x^2=36\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{36}\Leftrightarrow x=\pm 6.$

Παρόμοια, για την επίλυση της εξίσωσης $x^4=81$ , παρατηρούμε ότι αναζητούμε εκείνους τους αριθμούς, $x$ , οι οποίοι, όταν υψωθούν σε εκθέτη ίσο με το $4$ , προκύπτει αποτέλεσμα $81$ . Άρα, καταλήγουμε στην εύρεση της τέταρτης ρίζας, $\sqrt[4]{81}$ , του $81$ έχοντας δύο δυνατές επιλογές για το πρόσημο. Δηλαδή,

$x^4=81\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[4]{81}=\pm 3.$

Επίσης, για την επίλυση της εξίσωσης $x^6=64$ , έχουμε ότι,

$x^6=64\Leftrightarrow x= \pm\sqrt[6]{64}=\pm 2.$

Τέλος, ας δούμε, προσεκτικά, κάποιες εξισώσεις αυτού του τύπου που μπορούν να παρασύρουν σε βιαστικά και λανθασμένα συμπεράσματα.

Ενδεικτικά, κατά την επίλυση της εξίσωσης $x^2=-4$ , θα μπορούσε κανείς, από παραδρομή, να γράψει,

$x^2=-4\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm 2,$

ή, ακόμη χειρότερα,

$x^2=-4\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2,$

ή, κατευθείαν, $x=-2$ .

Ωστόσο, τίποτα από τα προηγούμενα δεν είναι σωστό. Φυσικά, ούτε ο αριθμός $2$ , αλλά ούτε και ο αριθμός $-2$ , όταν υψωθούν στο τετράγωνο δε δίνουν αποτέλεσμα $-4$ αλλά $4$ . ( $(-2)^2=(-2)\cdot(-2)=+4.$ )

Τελικά, καταλαβαίνουμε ότι το αρνητικό πρόσημο στον αριθμό $-4$ του β΄μέλους της, καθιστά την εξίσωση $x^2=-4$ αδύνατη. Ο λόγος είναι ότι δεν υπάρχει αριθμός – ούτε θετικός αλλά ούτε και αρνητικός – ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δηλαδή όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, να μπορεί να δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. ( $(+)\cdot(+)=+$ και $(-)\cdot(-)=+$ .)

Οπότε, εξισώσεις όπως οι $x^4=-16$ , $x^6=-64$ κ.ο.κ. είναι αδύνατες.

Εκθέτης (n) περιττός

Ας δούμε, τώρα, παραδείγματα εξισώσεων της μορφής $x^\nu=\alpha$ , με τον εκθέτη $\nu$ να είναι περιττός (μονός) αριθμός.

Aς εξετάσουμε, στην πρώτη φάση, την εξίσωση, $x^3=27$ . Εδώ, υπάρχει μόνο μία δυνατή επιλογή για την τιμή του $x$ . Αναγκαστικά, $x=3$ , διότι, $3^3=3\cdot 3\cdot 3=27$ , ενώ, $(-3)^3=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=-27$ , αφού $(-)\cdot(-)\cdot(-)=(+)\cdot(-)=-$ . Συνεπώς,

$x^3=27\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{27}\Leftrightarrow x=3.$

Παρόμοια,

$x^5=32\Leftrightarrow x=\sqrt[5]{32}\Leftrightarrow x=2.$

Ακόμη, αξίζει να σημειώσουμε ότι, στην περίπτωση του περιττού εκθέτη, εκτός από τη μοναδικότητα της λύσης, μπορούμε να επισημάνουμε άλλη μια διαφορά. Οι εξισώσεις έχουν μοναδική λύση ακόμη κι αν το πρόσημο του β΄ μέλους τους είναι αρνητικό. Για παράδειγμα, η εξίσωση $x^3=-8$ έχει μοναδική λύση $x=-2$ . Πράγματι, $(-2)^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$ .

Ωστόσο, πως θα μπορούσαμε να εκφράσουμε τη λύση μιας τέτοιας εξίσωσης με τη βοήθεια κατάλληλου ριζικού από τη στιγμή που στην υπόρριζη ποσότητα – ανεξάρτητα αν έχει νόημα ή όχι – έχουμε συμφωνήσει να μην δεχόμαστε αρνητικούς αριθμούς; Η απάντηση δίνεται με τη βοήθεια του εξής ελιγμού :

Το αρνητικό πρόσημο αποσπάται από τον αρνητικό αριθμό του β΄ μέλους και τοποθετείται μπροστά από το ριζικό. Συγκεκριμένα, για την προηγούμενη εξίσωση, έχουμε,

$x^3=-8\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{8}\Leftrightarrow x=-2.$

Η γενική περίπτωση

Συνοψίζοντας, παραθέτουμε τα γενικά συμπεράσματα κατά περίπτωση:

Η εξίσωση $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ άρτιος και $\alpha>0$ , έχει δύο λύσεις $x=\pm\sqrt[\nu]{\alpha}$ .
Η εξίσωση $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ άρτιος και $\alpha<0$ , είναι αδύνατη.
Η εξίσωση $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ περιττός και $\alpha>0$ , έχει μοναδική λύση $x=\sqrt[\nu]{\alpha}$ .
Η εξίσωση $x^\nu=\alpha$ , όπου $\nu$ περιττός και $\alpha<0$ , έχει μοναδική λύση $x=-\sqrt[\nu]{-\alpha}$ .

Επεκτάσεις

Πλέον, μπορούμε, αξιοποιώντας τα παραπάνω συμπεράσματα, να επιλύσουμε εξισώσεις της μορφής

$\alpha x^\kappa+\beta x^{\lambda}=0,$

όπου $\kappa,\lambda$ φυσικοί αριθμοί και $\alpha,\beta$ πραγματικοί αριθμοί.

Το κλειδί της επίλυσης μιας εξίσωσης τέτοιας μορφής είναι να παραγοντοποιήσουμε, κατάλληλα, το α’ μέλος τους.

Ας παραθέσουμε ορισμένα παραδείγματα:

$8x^3-2x^5=0.$ Η εξίσωση γράφεται $8x^3-2x^5=0\Leftrightarrow 2x^3(4-x^2)=0\Leftrightarrow {\rm 2}\!\!\!\diagup x^3=0$ ή $x^2=4\Leftrightarrow x=0$ ή $x=\pm \sqrt{4}=\pm{2}$ .
$27x^2+x^5=0.$ Η εξίσωση γράφεται $27x^2+x^5=0\Leftrightarrow x^2(27+x^3)=0\Leftrightarrow x^2=0$ ή $x^3=-27\Leftrightarrow x=0$ ή $x=-\sqrt[3]{27}=-3$ .