Περίμετρος και εμβαδόν

Εισαγωγή

Η περίμετρος και το εμβαδόν είναι δύο γεωμετρικές έννοιες οι οποίες διδάσκονται, διεξοδικά, από το Δημοτικό.

Ωστόσο, ακόμα και σε μεγαλύτερους μαθητές, η σύγχυση ανάμεσα στις δύο έννοιες είναι πολύ συχνή. Ενδεχομένως, αυτό να οφείλεται σε συνδυασμό εννοιολογικών,  γλωσσικών και διδακτικών παραγόντων.

Πρώτα απ’ όλα, τόσο η περίμετρος όσο και το εμβαδό αφορούν μετρήσεις γεωμετρικών σχημάτων. Μάλιστα, οι μετρήσεις αυτές αποτιμούν το πόσο αναπτύσσονται δύο αντίστοιχα χαρακτηριστικά του σχήματος. Αυτός ο κοινός παρονομαστής είναι ένα σημείο που προκαλεί παρερμηνείες.

Έχει σημασία, λοιπόν, να ξεκαθαρίσουμε τι ακριβώς μετράμε: Το “γύρω” (“περί”) ή το “μέσα” (“εν”);

Βέβαια, ειδικά για τους μαθητές μικρότερων τάξεων, δεν είναι, πάντοτε, απλό να διαχωριστεί το “γραμμικό” – μονοδιάστατο μέγεθος της περιμέτρου από το δισδιάστατο μέγεθος του εμβαδού. Άλλωστε, τόσο η περίμετρος όσο και το εμβαδό, εκφράζονται με αριθμούς ενώ, συνήθως, η μονάδα μέτρησης αποτελεί, κατά κάποιο τρόπο, ένα διακοσμητικό στοιχείο αποσυνδεμένο από την ουσία της διαδικασίας της σύγκρισης του αντικειμένου μ’ αυτή.

Επιπλέον, πολλές φορές, κατά τη διδασκαλία αυτής της ενότητας, δε δίνεται βαρύτητα στην οπτική εννοιολογική διάκριση των δύο μεγεθών. Άλλες φορές, πάλι, απουσιάζουν τα απτά βιωματικά παραδείγματα και οι εφαρμογές από την καθημερινότητα. Έτσι, στον βωμό της εμπέδωσης των αντίστοιχων υπολογιστικών διαδικασιών, θυσιάζεται η κατανόηση του γεωμετρικού χαρακτήρα των εννοιών. Ως αποτέλεσμα, για μια σημαντική μερίδα των μαθητών, αυτές παραμένουν συγκεχυμένες και αποκομμένες από τον πραγματικό κόσμο.

Αρχικά, στο άρθρο αυτό, θα επιχειρήσουμε να αποσαφηνίσουμε τις δύο έννοιες καταφεύγοντας σε αναφορές από πραγματικές καταστάσεις. Στη συνέχεια, θα διερευνήσουμε τον βαθμό που το ένα μέγεθος καθορίζει το άλλο μέγεθος  μέσα από το πρίσμα ορισμένων διερευνητικών ερωτημάτων.

Σε γενικές γραμμές, όπως θα διαπιστώσουμε, παρόλο που η διαίσθησή μας, ίσως, να οδηγεί στο αντίθετο συμπέρασμα, τελικά, το εμβαδό και η περίμετρος, μάλλον, δε συσχετίζονται στο μέτρο και με τον τρόπο που θα περιμέναμε.

Πρόκληση ενδιαφέροντος

Ο Οδυσσέας έχει ένα δωμάτιο με πάτωμα σχήματος τετραγώνου μέτρων. Το παιδί θέλει να διακοσμήσει το δωμάτιό του με ταινία LED φωτισμού, την οποία θα τοποθετήσει κατά μήκος του πατώματος, γύρω γύρω στους τοίχους του δωματίου, εκεί που ενώνεται ο τοίχος με το πάτωμα. Επίσης, θέλει να  καλύψει το πάτωμα στρώνοντας μια μοκέτα σ’ όλη την έκτασή του.

Τι θα χρειαστεί, σε κάθε περίπτωση, να μετρήσει ο Οδυσσέας για να παραγγείλει, από το διαδίκτυο, τα μέτρα της ταινίας και τα τετραγωνικά μέτρα της μοκέτας;

Το προηγούμενο σχήμα είναι ενδεικτικό για το ότι:

• Για το μήκος της ταινίας LED, το παιδί θα χρειαστεί να αθροίσει τις τέσσερις (ίσες) πλευρές, περιμετρικά, του τετράγωνου πατώματος του δωματίου. Άρα, θα παραγγείλει μέτρα ταινία.
• Για την έκταση της μοκέτας, το παιδί θα χρειαστεί να υπολογίσει το εμβαδό του πατώματος. Συνεπώς, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, από τα τετράγωνα πλευράς 1 που συνθέτουν το τετράγωνο πλευράς 3, θα παραγγείλει, τετραγωνικά μέτρα μοκέτα.

Η έννοια της περιμέτρου

Η περίμετρος  (“περί” + “μέτρο”) ενός σχήματος εκφράζει το μήκος της γραμμής – όχι, απαραίτητα ευθείας – που περικλείει το σχήμα. Άλλωστε, το πρόθημα “περί” σημαίνει “γύρω”. Έτσι, στα συνήθη ευθύγραμμα σχήματα, όπως το τετράγωνο, το ορθογώνιο, το πλάγιο παραλληλόγραμμο, το τρίγωνο και το τραπέζιο, η περίμετρος υπολογίζεται προσθέτοντας όλες τις πλευρές τους. Προφανώς, η περίμετρος, αφού εκφράζει το μήκος μιας γραμμής, αποδίδεται στην ίδια μονάδα μέτρησης με τη χρησιμοποιούμενη μονάδα μέτρησης μηκών. Δηλαδή, αν οι πλευρές ενός τετραγώνου εκφράζονται σε μέτρα (), τότε, η περίμετρος του, επίσης, αποδίδεται σε μέτρα.

Εφαρμογές της περιμέτρου

Για να κατανοήσετε περισσότερο το μέγεθος της περιμέτρου, όπως και τον τρόπο υπολογισμού του, ακολουθούν ορισμένα απλά παραδείγματα από καθημερινές καταστάσεις.

Περίμετρος ορθογωνίου

Κάποιοι μαθητές μετρούν, με τη βοήθεια ενός βηματόμετρου, το μήκος και το πλάτος του ορθογώνιου σχήματος ενός γηπέδου . Αν οι μαθητές βρήκαν ότι το μήκος ήταν βήματα και το πλάτος βήματα, τότε, πόσος φράχτης χρειάστηκε για να περιφράξει το γήπεδο;Προφανώς, για να βρούμε το μήκος του φράχτη, χρειάζεται να υπολογίσουμε την περίμετρο, , του ορθογωνίου. Είναι,

   

βήματα.

Περίμετρος παραλληλογράμμου

Ένας συμμαθητής σας θέλει να παραγγείλει πηχάκια για να πλαισιώσει μια αφίσα σχήματος πλάγιου παραλληλόγραμμου.Το παιδί μέτρησε τις διαδοχικές πλευρές του παραλληλογράμμου και βρήκε ότι είναι και . (Θα θυμάστε ότι η μονάδα λέγεται δεκατόμετρο και αποτελεί το του μέτρου .)

Επίσης, γνωρίζει ότι το ποσό που θα πληρώσει, για τα πηχάκια, εξαρτάται από το συνολικό τους μήκος.

Άρα, συμπεραίνει ότι θα ήταν χρήσιμο να υπολογίσει την περίμετρο, , του παραλληλογράμμου. Είναι,

   

(Αν αναρωτιέστε πως θα μπορούσε να υπολογίσει την περίμετρο και για το κυκλικό της μέρος, θα μπορούσατε να ανατρέξετε εδώ.)

Περίμετρος τριγώνου

Κάποια παιδιά επιθυμούν να διακοσμήσουν, περιμετρικά, τον τριγωνικό ανθόκηπο της παρακάτω εικόνας με πασαλάκια. Έτσι, για να υπολογίσουν πόσα τεμάχια θα παραγγείλουν, χρειάζεται να βρουν την περίμετρο, , του ανθόκηπου ο οποίος έχει πλευρές και . Είναι,

   

Περίμετρος τραπεζίου

Μια συμμαθήτριά σας επιθυμεί να υπολογίσει το συνολικό μήκος της κλωστής με την οποία είναι κεντημένη, περιμετρικά, η τσάντα σχήματος (ισοσκελούς) τραπεζίου της παρακάτω εικόνας,όπου οι πλευρές είναι εκφρασμένες σε .

Έτσι, θα χρειαστεί να βρει την περίμετρο, , του σχήματος του τραπεζίου της τσάντας. Είναι,

   

Η έννοια του εμβαδού

Το εμβαδόν (“εν” + “βαίνω”) ενός σχήματος εκφράζει την έκταση που αυτό καταλαμβάνει στο επίπεδο. Εδώ, το πρόθημα “εν” σημαίνει “μέσα” ενώ το ρήμα “βαίνω” σημαίνει “προχωρώ”.

Συνήθως, ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού επιλέγουμε την τετραγωνική μονάδα (τ.μ.). Η τετραγωνική μονάδα είναι ένα τετράγωνο – μαζί με το εσωτερικό του – πλευράς στη χρησιμοποιούμενη μονάδα μέτρησης μηκών.

Για παράδειγμα, αν, στο πλαίσιο του προβλήματος που εξετάζουμε, τα μήκη μετριούνται σε εκατοστά (), τότε, τα εμβαδά θα εκφράζονται σε τετραγωνικά εκατοστά ().

(Όμοια, το τετραγωνικό εκατοστό είναι το τετράγωνο – μαζί με το εσωτερικό του – πλευράς .)

Τύποι και εφαρμογές του εμβαδού

Επιστρατεύοντας, λοιπόν, ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού την τετραγωνική μονάδα (τ.μ.), μπορούμε να προβούμε σε υπολογισμούς εμβαδών διάφορων σχημάτων.

Μάλιστα, χρησιμοποιώντας γραφικές αναπαραστάσεις, σε τετραγωνισμένο χαρτί, θα οδηγηθούμε σε διάφορους εύχρηστους τύπους εμβαδών για μια σειρά από ευθύγραμμα σχήματα. Στη συνέχεια, θα συνδέσουμε, κατά περίπτωση, αυτούς τους τύπους σε απλές εφαρμογές της καθημερινότητας.

(Στο Λύκειο θα έχετε την ευκαιρία να αποδείξετε αυτούς τους τύπους για τα εμβαδά των βασικών ευθύγραμμων σχημάτων.)

Εμβαδό ορθογωνίου

Είναι φανερό ότι για να υπολογίσουμε το πλήθος των τετραγώνων, που απαρτίζουν το παρακάτω ορθογώνιο,μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος, , των τετραγώνων μιας σειράς του επί το πλήθος, , των τετραγώνων μιας στήλης του. Έτσι, το εμβαδό, , του προηγούμενου ορθογωνίου ισούται με τ.μ..

Γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός ορθογωνίου, πολλαπλασιάζουμε τις διαστάσεις του, δηλαδή το μήκος του επί το πλάτος του.

Αρκετές φορές, το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου αποκαλούνται βάση, , και ύψος, , αντίστοιχα. Τελικά, το εμβαδό, , ενός ορθογωνίου, με βάση, , και ύψος, , δίνεται από τον τύπο,

   

 

Εφαρμογή

Η Μαρία θέλει να φτιάξει μια αφίσα σε σχήμα ορθογωνίου για μια εκδήλωση του σχολείου. Η αφίσα έχει διαστάσεις και .

Πόση επιφάνεια θα καλύψει στον πίνακα ανακοινώσεων;

Εμβαδό παραλληλογράμμου

Μπορείτε να μετρήσετε το πλήθος των τετραγώνων που αποτελούν το παρακάτω πλάγιο παραλληλόγραμμο;Μήπως βρήκατε ότι το πλήθος τους είναι ; (Να παρατηρήσετε ότι τα μισά τετράγωνα συνθέτουν ολόκληρα.)

Σίγουρα, θα συμφωνείτε ότι φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση του προηγούμενου πλήθους των τετραγώνων με τη βάση, , καθώς και με το ύψος, , του ορθογωνίου.

Άλλωστε, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο μετασχηματίζεται, εύκολα, σ’ ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ίδιου εμβαδού.

Πραγματικά, το ακόλουθο σχήμα,

είναι ενδεικτικό για το ότι, από το παραπάνω πλάγιο παραλληλόγραμμο, μπορεί να “αφαιρεθεί” το ορθογώνιο τρίγωνο στα αριστερά του και να “προστεθεί” στα δεξιά του διαμορφώνοντας ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Έτσι, το εμβαδό, , του προηγούμενου πλάγιου παραλληλογράμμου είναι όσο το εμβαδό του ορθογωνίου.

Άρα, τ.μ..

Γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδό, , ενός πλάγιου παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάζουμε τη βάση του, , επί το ύψος του, . Συνεπώς,

   

 

Εφαρμογή

Ποιο είναι το εμβαδό της πορτοκαλί λωρίδας σχήματος παραλληλογράμμου, με βάση και ύψος , του προειδοποιητικού σήματος της πινακίδας της παρακάτω εικόνας εργοταξίου;

Εμβαδό τριγώνου

Έχετε μοιραστεί, ποτέ, ένα τετράγωνο τοστ σε δύο ίσα μέρη κόβοντάς το διαγώνια; Τι μέρος του τοστ είναι το κάθε κομμάτι του;

Θα συμφωνείτε ότι, γενικότερα, ένα οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο διαιρείται από τη διαγώνιό του σε δύο ίσα τρίγωνα. Ίσως, αυτή η παρατήρηση να μπορούσε να αξιοποιηθεί κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου.

Για παράδειγμα, το πλήθος των τετραγώνων που αποτελούν το παρακάτω τρίγωνο,

ισούται με το μισό του πλήθους των τετραγώνων που αποτελούν ένα παραλληλόγραμμο που έχει διαγώνιο μια πλευρά αυτού του τριγώνου.

Η ακόλουθη εικόνα είναι αρκετά διαφωτιστική αφού φαίνεται ότι το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο αποτελείται από δύο ίσα – με το αρχικό – τρίγωνα.

Οπότε, το εμβαδό, , του τριγώνου είναι το μισό του εμβαδού του προηγούμενου παραλληλογράμμου.

Συνεπώς, τ.μ..

Γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδό, , ενός πλάγιου παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάζουμε τη βάση του, , επί το ύψος του, , διαιρώντας διά τον αριθμό . Συνεπώς,

   

 

Εφαρμογή

Ένας σχεδιαστής γραφικών επιχειρεί να προσδιορίσει τον αριθμό των pixels που αποτελούν το λευκό ισόπλευρο τρίγωνο της παρακάτω εικόνας.

(Το Pixel είναι το μικρότερο “κομμάτι” από το οποίο φτιάχνεται μια εικόνα στην οθόνη. Συγκεκριμένα, πρόκειται για ένα πολύ μικρό χρωματιστό τετράγωνο. Όπως μια κατασκευή από lego φτιάχνεται από πολλά μικρά τουβλάκια, έτσι και μια εικόνα στον υπολογιστή φτιάχνεται από χιλιάδες ή και εκατομμύρια pixels.
Όσο περισσότερα pixels έχει μια εικόνα, τόσο πιο ευκρινής είναι!)

Ο σχεδιαστής ανέλυσε την παραπάνω εικόνα και μέτρησε τα pixels της κατακόρυφης πλευράς του τριγώνου όπως και τα pixels του αντίστοιχου ύψους της. Για την πλευρά βρήκε   και για το ύψος βρήκε .Μπορείτε να ρίξετε κι εσείς μια ματιά …

Πως θα μπορούσε, έστω και κατά προσέγγιση, να βρει το πλήθος όλων των pixels της εικόνας του τριγώνου;

Εμβαδό τραπεζίου

Έχετε κάποια ιδέα για το πως θα μπορούσε να υπολογιστεί το πλήθος των τετραγώνων που απαρτίζουν το παρακάτω τραπέζιο;Όπως μπορείτε να παρατηρήσετε δίνονται τα μήκη των παράλληλων πλευρών του, (μεγάλη βάση) και (μικρή βάση), καθώς και το ύψος του . Ίσως, να σκεφτήκατε να το χωρίσετε σε κατάλληλα τρίγωνα.

(Για παράδειγμα, μπορείτε να το κάνετε με τη βοήθεια μιας διαγωνίου του.)

Άλλος τρόπος είναι να προεκτείνουμε, κατάλληλα, τις βάσεις του για να σχηματίσουμε ένα παραλληλόγραμμο, όπως στο παρακάτω σχήμα.

Δηλαδή, το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο έχει βάση το άθροισμα των βάσεων του τραπεζίου και ίδιο ύψος με το τραπέζιο. Φυσικά, το εμβαδό, , του τραπεζίου είναι το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου.

Άρα, τ.μ..

Γενικά, για να υπολογίσουμε το εμβαδό, , ενός τραπεζίου, πολλαπλασιάζουμε το άθροισμα των βάσεών του, , επί το ύψος του, , διαιρώντας διά τον αριθμό . Άρα,

   

 

Εφαρμογή

Μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδό της μπροστινής έδρας του χάρτινου κουτιού της εικόνας;

(Η μονάδα μέτρησης των μηκών είναι το εκατοστό .)

Διερεύνηση σχέσεων περιμέτρου – εμβαδού

Δεν είναι λίγες οι φορές που αναζητούμε συνδέσεις μεταξύ της περιμέτρου και του εμβαδού. Το κοινό πλαίσιο εφαρμογής, καθώς κι ένας συνδυασμός πρακτικών και θεωρητικών αναγκών, αποτελούν το γόνιμο πεδίο για να εξεταστεί η δυνατότητα αλληλεπίδρασης των δύο μεγεθών.

Από την άλλη πλευρά, η διερεύνηση σχέσεων μεταξύ περιμέτρου και εμβαδού εξυπηρετεί και παιδαγωγικές επιταγές.

Βέβαια, στο Γυμνάσιο, η αναζήτηση μπορεί να γίνει σ’ ένα βασικό επίπεδο, καθώς, σε μεγαλύτερες τάξεις, μπορεί να διατρέξει πιο σύνθετα θέματα.

(Στο Λύκειο μπορείτε να πειραματιστείτε με σχήματα ίσης περιμέτρου και εμβαδού και να εμβαθύνετε μέχρι και στα ισοπεριμετρικά προβλήματα.)

Έτσι, παρακάτω, θα εστιάσουμε σε ερωτήματα που κρύβουν παγίδες και που οδηγούν σε συνήθεις παρανοήσεις.

 

Όταν το μήκος δε λέει όλη την αλήθεια …

Τι πιστεύετε; Αν ένα σχήμα έχει μεγαλύτερη περίμετρο από ένα άλλο σχήμα, τότε, οδηγούμαστε, με ασφάλεια, σε κάποιο αντίστοιχο συμπέρασμα για τα εμβαδά τους;

Δηλαδή, η αύξηση της περιμέτρου ενός σχήματος σημαίνει, απαραίτητα, αύξηση του εμβαδού του σχήματος;

Ίσως, κάποιες βιωματικές εμπειρίες με συγκεκριμένα, όμως, σχήματα να μάς οδηγούν, λανθασμένα, να απαντάμε, πάντοτε, καταφατικά σ’ ένα τέτοιο ερώτημα.

Ενδεικτικά, διακρίνετε την αύξηση τόσο της περιμέτρου όσο και του εμβαδού στους κυκλικούς παφλασμούς του νερού της παρακάτω εικόνας;

Ωστόσο, σε αντίθεση με την περίμετρο του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου, όπου η αύξηση του ενός, πάντοτε, προκαλεί – όχι, βέβαια, αναλογική –  αύξηση του άλλου, στα ευθύγραμμα σχήματα δε συμβαίνει, αναγκαστικά, κάτι παρόμοιο.

Με λίγη δόση χιούμορ, να παρατηρήσετε την παρακάτω εικόνα με το ψηλόλιγνο παιδί και τον βραχύσωμο εύρωστο φίλο του. Μήπως εντοπίσατε κάποια αντιστοιχία με το παραπάνω ερώτημα;

Πράγματι, για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο, με διαστάσεις και , έχει μεγαλύτερη περίμετρο αλλά μικρότερο εμβαδό από το τετράγωνο πλευράς .

Μπορείτε να βρείτε δικά σας παραδείγματα δύο σχημάτων όπου, μάλιστα, αυτά να έχουν διαφορετικό αριθμό πλευρών, έτσι, ώστε το σχήμα με τη μεγαλύτερη περίμετρο να έχει το μικρότερο εμβαδό;

Όταν το περισσότερο δε σημαίνει εκτενέστερο …

Προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα τι θα απαντούσατε σε καθένα από τα παρακάτω ερωτήματα;

• Είναι δυνατόν να αυξάνεται ολοένα και περισσότερο η περίμετρος διάφορων σχημάτων, ξεπερνώντας οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ, ταυτόχρονα, το εμβαδόν τους να παραμένει σταθερό;
• Είναι δυνατόν να αυξάνεται ολοένα και περισσότερο η περίμετρος διάφορων σχημάτων, ξεπερνώντας οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ, ταυτόχρονα, το εμβαδόν τους να ελαττώνεται πλησιάζοντας προς το μηδέν;

Η διαδραστική εφαρμογή

Τι θα λέγατε να διερευνήσετε τέτοια ερωτήματα, όπως τα προηγούμενα, με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής;

Να μη διστάσετε να πειραματιστείτε και με άλλα, δικά σας σχήματα, στο χαρτί.

Καλή ενασχόληση!