Το πρόβλημα του Fagnano

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Με ποιον τρόπο οι ορθές προβολές των κορυφών ενός οξυγώνιου τριγώνου, στις απέναντι πλευρές του, συνδέονται με ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης όπως το περίφημο πρόβλημα του Fagnano;

Στη Γεωμετρία της Α΄Λυκείου, στην ενότητα των ανισοτικών σχέσεων, αποδεικνύονται μια σειρά από συμπεράσματα που σχετίζονται με προβλήματα βελτιστοποίησης. Ας γίνει μια σύντομη ανασκόπηση, για μερικά από αυτά, πριν τη διατύπωση του προβλήματος του Fagnano.

Αρχικά, από σημείο $A$ , που δεν ανήκει σε ευθεία, $\varepsilon$ , το κάθετο τμήμα, $AB$ , προς την ευθεία, είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο τμήμα, $A\it\Gamma$ , προς την ευθεία. Αυτό σημαίνει ότι η συντομότερη ευθύγραμμη “διαδρομή” προς μια ευθεία, από ένα σημείο $A$ , εκτός αυτής, είναι η κάθετη “διαδρομή”, $AB$ , προς την ευθεία.

Ακόμη, χάρη στην τριγωνική ανισότητα, αποδεικνύεται ότι για δύο σημεία, $A$ και $B$ , εκατέρωθεν μιας ευθείας, $\varepsilon$ , το ευθύγραμμο τμήμα, $AB$ , που τα ενώνει, έχει το μικρότερο μήκος από οποιαδήποτε τεθλασμένη γραμμή, με άκρα τα δύο σημεία $A$ και $B$ , η οποία έχει άλλη μία κορυφή, $\it\Gamma$ , ένα σημείο πάνω στην ευθεία. Αυτό σημαίνει ότι αν θέλαμε να μεταβούμε από το ένα σημείο, $A$ , προς το άλλο σημείο, $B$ , ακολουθώντας τη συντομότερη “διαδρομή”, κατά μήκος ευθύγραμμων τμημάτων, με μια ενδιάμεση “στάση” στην ευθεία, τότε, πρέπει να επιλέξουμε το τμήμα $AB$ με άκρα τα δύο σημεία.Έστω, τώρα, ότι αναζητείται ένα σημείο, $\it\Sigma$ , μιας ευθείας $\varepsilon$ , του οποίου το άθροισμα των αποστάσεων από δύο άλλα σημεία, $A$ και $B$ , που βρίσκονται εκτός της ευθείας, αλλά προς το ίδιο μέρος της, γίνεται το ελάχιστο δυνατό. Μήπως η αναζήτηση αυτή θα μπορούσε να οδηγηθεί από την προηγούμενη παρατήρηση;

Η σχέση που πραγματικά κυβερνάει τα μαθηματικά είναι η ανισότητα. Η ισότητα παρουσιάζεται μόνο ως μια ειδική περίπτωση!
Hilbert , 1862 – 1943

Η διαδραστική εφαρμογή

Στο σημείο αυτό θα ανοίξει μια παρένθεση για ένα διαδραστικό παιχνίδι.

Μια πλατεία, με σχήμα οξυγώνιο τρίγωνο, περικλείεται από τρεις εμπορικούς δρόμους, τους $AB, B{\it\Gamma}$ και ${\it\Gamma}A$ . Ένα όργανο της δημοτικής αστυνομίας, το τελευταίο χρονικό διάστημα, έχει αναλάβει τον έλεγχο του συγχρωτισμού των προηγούμενων δρόμων. Ο αστυνομικός μπορεί, για καθένα δρόμο, να σταθεί σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του. Με κατάλληλες χειρονομίες κατευθύνει τους πολίτες έτσι, ώστε, να διατηρούν, απαραιτήτως, αποστάσεις ασφαλείας. Έτσι, ο αστυνομικός μετακινείται, ανά τακτά χρονικά διαστήματα, από δρόμο σε δρόμο, διασχίζοντας ευθύγραμμα την πλατεία, καλύπτοντας, διαδοχικά, και τους τρεις δρόμους. Αναγκαστικά, επαναλαμβάνει, αδιάλειπτα, την προηγούμενη διαδρομή, κατά τη διάρκεια της βάρδιάς του. Μοιάζει, λοιπόν, επιτακτική η ανάγκη να ανακαλύψει τη συντομότερη δυνατή διαδρομή η οποία εξυπηρετεί τον σκοπό της αποστολής του.

Μπορείτε να βοηθήσετε;

Διαδραστική εφαρμογή για το πρόβλημα του Fagnano

Η διατύπωση του προβλήματος του Fagnano

Το 1775, ο Ιταλός μαθηματικός Giovanni Fagnano (31 Ιανουαρίου 1715 – 14 Μαίου 1797), διατύπωσε το ομώνυμο πρόβλημα:

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\it\Gamma$ . Να βρεθεί τρίγωνο ${\it\Delta}EZ$ το οποίο έχει την ελάχιστη περίμετρο μεταξύ όλων των εγγεγραμμένων τριγώνων του $AB\it\Gamma$ .

Ο Fagnano απέδειξε ότι το ζητούμενο τρίγωνο είναι το ορθικό τρίγωνο, δηλαδή αυτό που έχει κορυφές τα ίχνη των υψών του αρχικού τριγώνου στις πλευρές του. Η απόδειξή του στηρίχθηκε σε μεθόδους Απειροστικού Λογισμού. Αυτή που θα παρουσιαστεί στη συνέχεια είναι καθαρά γεωμετρική.

Ενδεχομένως, προηγουμένως, να φανεί χρήσιμο να μελετηθεί η απόδειξη που είχε δοθεί στο άρθρο το σχετικό με το ότι τα ύψη ενός οποιουδήποτε τριγώνου συντρέχουν στο ορθόκεντρό του. Ίσως αυτή η αποδεικτική πορεία να προλειάνει το έδαφος για την αντιμετώπιση του προβλήματος του Fagnano.

Η ανάλυση του προβλήματος του Fagnano και η επίλυσή του

Έστω, λοιπόν, οξυγώνιο τρίγωνο $AB\it\Gamma$ . Ας υποτεθεί ότι βρέθηκε το ζητούμενο τρίγωνο ${\it\Delta}EZ$ το οποίο έχει την ελάχιστη περίμετρο μεταξύ όλων των εγγεγραμμένων τριγώνων του $AB\it\Gamma$ .

Τότε, το σημείο $\it\Delta$ , θα είναι εκείνο το σημείο του $B\it\Gamma$ που έχει το ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τα $E$ και $Z$ . Από τη στιγμή που το τρίγωνο $AB\it\Gamma$ είναι οξυγώνιο, αυτό σημαίνει ότι οι προβολές των $Z$ και $E$ θα ανήκουν στη $B\it\Gamma$ . Σύμφωνα με γνωστό συμπέρασμα, που αναφέρθηκε στο τέλος της εισαγωγής, έπεται ότι, ${\hat{\it\Delta}_1}={\hat{\it\Delta}_2}$ . Ομοίως, ${\hat{E_1}}={\hat{E_2}}$ και ${\hat{Z_1}}={\hat{Z_2}}$ .

Έστω,

$\varphi={\hat{\it\Delta}_1}}={\hat{\it\Delta}_2}}, \,{\vartheta}={\hat{E_1}}={\hat{E_2}}, \,{\omega}={\hat{Z_1}}={\hat{Z_2}}.$

Τότε, από το τρίγωνο ${\it\Delta}EZ$ , προκύπτει ότι $\hat{\it\Delta}+\hat{E}+\hat{Z}=180^\circ$ , δηλαδή,

$(180^\circ-2\varphi)+(180^\circ-2\vartheta)+(180^\circ-2\omega)=180^\circ,$

συνεπώς, $\varphi+\vartheta+\omega=180^\circ$ .

Παρατηρώντας το τρίγωνο $AEZ$ , συνάγεται ότι $\hat{A}+\vartheta+\omega=180^\circ$ , οπότε, $\hat{A}=\varphi$ . Παρόμοια, $\hat{B}=\vartheta$ και $\hat{\it\Gamma}=\omega$ . Έτσι, τα τρίγωνα $AB\it\Gamma$ και $B{\it\Delta}Z$ έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, οπότε είναι όμοια. Άρα, θα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Επομένως, $\frac{B{\it\Delta}}{BZ}=\frac{AB}{B{\it\Gamma}}$ , δηλαδή, $\frac{B{\it\Delta}}{AB}=\frac{BZ}{B{\it\Gamma}}$ . Η τελευταία ισότητα, σε συνδυασμό με την ύπαρξη της κοινής γωνίας $\hat{B}$ , φανερώνει ότι τα τρίγωνα $AB{\it\Delta}$ και $B{\it\Gamma}Z$ είναι όμοια. Συνεπώς, ${\hat{A_1}}={\hat{\it\Gamma}_2}$ . Ανάλογα, ${\hat{A_2}}={\hat{B_1}}$ και ${\hat{{\it\Gamma}_1}}={\hat{B_2}}$ .

Θέτουμε,

$x={\hat{A_1}}={\hat{\it\Gamma}_2},\, y={\hat{A_2}}={\hat{B_1}},\, z={\hat{\it\Gamma_1}}={\hat{B_2}}.$

Έχουμε,

$\left\{\begin{matrix}x+y=\hat{A}\\ x+z=\hat{\it\Gamma}\\y+z=\hat{B}\end{matrix}\right.,$

απ’ όπου προκύπτει ότι,

$\left\{\begin{matrix}x=90^\circ-\hat{B}\\y=90^\circ-\hat{\it\Gamma}\\ z=90^\circ-\hat{A}\end{matrix}\right..$

Το τετράπλευρο $AB{\it\Delta}E$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο διότι η εξωτερική γωνία της ${\hat{\it\Delta}}$ είναι ίση με την απέναντι εσωτερική της, δηλαδή την ${\hat{A}}$ .