Ισότητα
Το σύμβολο “” και η σχέση που παριστάνει δε χρειάζονται ιδιαίτερες συστάσεις:
Από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού, το έχετε συναντήσει, αμέτρητες φορές, σε εκείνες τις περιπτώσεις που δύο μαθηματικά αντικείμενα δε διαφοροποιούνται μέσα στο εννοιολογικό πλαίσιο που ορίζονται.
Για παράδειγμα, , “Δύο κύκλοι με ίσες ακτίνες είναι ίσοι” κ.ά..
Ισότητα ή Ισοδυναμία;
Από την άλλη μεριά, πόσο εύκολα, αλήθεια, ασπαστήκατε “ισότητες”, όπως,
όταν τις συναντήσατε για πρώτη φορά, κατά τη μελέτη των κλασμάτων;
Ίσως, ακόμη και τώρα, να νιώθετε άβολα μ΄ αυτήν την ταύτιση διαφορετικών, κατασκευαστικά, μαθηματικών αντικειμένων. Άλλωστε, ο αρχικός χαρακτηρισμός “ισοδύναμα κλάσματα”, που συνήθως ακολουθεί την έννοια του κλάσματος, γρήγορα, προσπεράστηκε χωρίς περαιτέρω αναφορές.
Βέβαια, ενδεχομένως, να μην αναγνωρίζετε καμιά (αλγεβρική) διαφορά μεταξύ των αριθμών και καθώς, συχνά, τους ταυτίσατε, χωρίς επιφυλάξεις, όσες φορές χρησιμοποιήθηκαν στο πλαίσιο μιας μαθηματικής διεργασίας.
Τί θα συνέβαινε, όμως, π.χ. σε μια απόπειρα να επεκτείνουμε τον ορισμό,
σε περιπτώσεις όπου ;
Σ΄ ένα τέτοιο εγχείρημα, ενώ, για παράδειγμα, μάλλον θα συμφωνούσατε, ξεχωριστά, με καθεμία από τις ισότητες,
και
εύλογα, αντιλαμβάνεστε την “αντίφαση”:
Ένα παρεμφερές “παράδοξο”, από το Κεφάλαιο του Ολοκληρωτικού Λογισμού, εμφανίζεται, εφαρμόζοντας παραγοντική ολοκλήρωση, στο αόριστο ολοκλήρωμα,
π.χ. στο , όπου προκύπτει ότι,
δηλαδή, ότι !
Άραγε, υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς ή στις “ισότητες” μεταξύ των παραπάνω ολοκληρωμάτων;
Αν όχι, με ποια έννοια είναι ίσα τα παραπάνω μαθηματικά αντικείμενα; Μήπως, μέσα από από κάποιο πρίσμα, θα μπορούσε να θεωρηθεί σωστή η ισότητα ;
Να ανοίξουμε, σ΄ αυτό το σημείο, μια παρένθεση και να ανακαλέσουμε τον ορισμό του σχολικού βιβλίου για το αόριστο ολοκλήρωμα:
“Το σύνολο όλων των παραγουσών μιας συνάρτησης σ΄ ένα διάστημα ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της στο , συμβολίζεται και διαβάζεται “ολοκλήρωμα εφ του χι ντε χι”.”
Άρα, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι σύνολο;
Αλλά, τότε, τι έννοια έχει η ισότητα όπου μια παράγουσα της στο , που ακολουθεί στο σχολικό βιβλίο επεξηγώντας τον προηγούμενο ορισμό;
Στην πραγματικότητα, εδώ το “” σημαίνει ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν την ίδια “δυναμική” κατά την αντιπαραγώγιση, δηλαδή, αν παραγωγιστούν, τότε προκύπτει ίδιο αποτέλεσμα, ίδια συνάρτηση.
Εξακολουθείτε να πιστεύετε το ίδιο σθεναρά ότι η “ισότητα” , του παραπάνω παραδείγματος, είναι λανθασμένη;