Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Τι σημαίνει παράγωγος συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της; Ποιο είναι το ερέθισμα για τον ορισμό της έννοιας της παραγώγου σε σημείο;

Σε προηγούμενες τάξεις, είχατε συναντήσει την έννοια της εφαπτομένης ευθείας σε σημείο καμπύλης. Αρχικά, η εφαπτομένη ορίστηκε σε σημείο του κύκλου. Στη συνέχεια, στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β΄Λυκείου, ο ορισμός της επεκτάθηκε σε σημείο οποιασδήποτε κωνικής τομής. Πλέον, ο ορισμός μπορεί να καλύψει, εκτός από τον κύκλο, τις περιπτώσεις της παραβολής, της έλλειψης και της υπερβολής. Σε κάθε περίπτωση, η εφαπτομένη σ’ ένα σημείο μιας καμπύλης, όπως οι παραπάνω, επιτυγχάνει να “πλησιάσει” την καμπύλη. Αυτό συμβαίνει, τοπικά, σε μια περιοχή “κοντά” στο σημείο από το οποίο εφάπτεται.

Η παράγωγος σε σημείο ως γενίκευση της κλίσης

Οι καμπύλες γραμμές του κύκλου και των υπόλοιπων κωνικών τομών, μέσω της εφαπτομένης τους σ΄ ένα σημείο, προσεγγίζονται, τοπικά, από την απλούστερη γραμμή, δηλαδή, από μία ευθεία. Το γεγονός αυτό αποτελεί κίνητρο, έτσι, ώστε, η έννοια αυτή να γενικευτεί και στις περιπτώσεις καμπυλών που παριστάνουν γραφήματα συναρτήσεων. Βέβαια, όπως θα διαπιστωθεί, αυτό είναι εφικτό μόνο όταν τα γραφήματα αυτά πληρούν μια συγκεκριμένη συνθήκη.

Άραγε, ποια θα μπορούσε να είναι αυτή η συνθήκη; Γιατί η εξασφάλισή της αποτελεί ικανό παράγοντα για να ορίζεται η εφαπτομένη; Επιπλέον, πως θα μπορούσε να προσδιοριστεί η εφαπτομένη όταν πληρείται η συγκεκριμένη συνθήκη; Να μη λησμονείτε ότι μια ευθεία μπορεί να οριστεί, μέσω της κλίσης της, όταν είναι γνωστό ένα σημείο από το οποίο διέρχεται.

Η διαδραστική εφαρμογή

Η ακόλουθη διαδραστική εφαρμογή, διαπραγματεύεται τον ορισμό της εφαπτομένης σε σημείο $A\big(x_0,f(x_0)\big)$ του γραφήματος, για μια συνάρτηση $f$ , η οποία πληροί τη συνθήκη αυτή στο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της. Ενδεχομένως, με τη βοήθειά των διαδραστικών χαρακτηριστικών που παρέχει το γραφικό της περιβάλλον, να γίνει περισσότερο κατανοητή τόσο η συνθήκη όσο και η τεκμηρίωσή της. Μπορείτε να επεξεργαστείτε συγκεκριμένα παραδείγματα συναρτήσεων και να αντιληφθείτε τη σύνδεση της συνθήκης με την εφαπτομένη των γραφικών τους παραστάσεων στο σημείο $A\big(x_0,f(x_0)\big)$ .

Σ’ ένα επόμενο βήμα, ίσως, να μπορούσε να βρεθεί και η εξίσωση που παριστάνει την εφαπτομένη αυτή. Σύμφωνα με τα παραπάνω, θεωρούμενη, κατάλληλα, ως συνάρτηση ισούται, κατά προσέγγιση, με την $f$ , τουλάχιστον, για εκείνα τα $x$ τα οποία βρίσκονται σε μια “περιοχή” του $x_0$ . Η τελευταία παρατήρηση φανερώνει τη μεγάλη αξία που έχει η παράγωγος συνάρτησης σε σημείο.