Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις διερευνώνται, συστηματικά, στη σχολική Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Σίγουρα, στο πλαίσιο της διαπραγμάτευσής τους, ο μαθητής καλείται να συνδυάσει συνήθεις αλγεβρικούς χειρισμούς με γεωμετρικές σχέσεις γωνιών. Επίσης, χρειάζεται να κατανοηθεί η περιοδική φύση των τριγωνομετρικών αριθμών.

Είναι γεγονός, ότι, μέχρι τη συγκεκριμένη ενότητα, οι μαθητές έχουν συναντήσει μόνο πολυωνυμικές εξισώσεις, κυρίως, πρώτου βαθμού και δεύτερου βαθμού. Ακόμη, έχουν ασχοληθεί και με εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές εξισώσεις πρώτου και δεύτερου βαθμού. Για παράδειγμα, έχουν αντιμετωπίσει ρητές εξισώσεις, διτετράγωνες εξισώσεις και εξισώσεις με απόλυτες τιμές. Τέλος, έχουν διδαχθεί εξισώσεις της μορφής $x^{n}=\alpha$ .

Δηλαδή, οι μαθητές έχουν εξοικειωθεί με τύπους εξισώσεων στους οποίους, η μέθοδος είναι, σχεδόν, αμιγώς αλγεβρική. Στις περισσότερες περιπτώσεις των παραπάνω εξισώσεων αφού, ενδεχομένως, προηγηθεί κάποια διεργασία αναγωγής, η επίλυσή τους κατευθύνεται:

είτε από το στόχο της μεταφοράς όλων των όρων στο α΄μέλος και χρήση των τύπων επίλυσης της δευτεροβάθμιας,
είτε από το στόχο του χωρισμού γνωστών από αγνώστους και εφαρμογή της καθορισμένης διαδικασίας στις περιπτώσεις της πρωτοβάθμιας ή στις περιπτώσεις των εξισώσεων της μορφής $x^{n}=\alpha$ .

Θα παρουσιάσουμε, λοιπόν, για τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της διαδικασίας επίλυσής τους . Η προσέγγιση του άρθρου θα μπορούσε να αποτελέσει έναν σύντομο οδηγό μελέτης. Επιπλέον, στο τέλος, θα έχετε την ευκαιρία να εξασκηθείτε, διαδραστικά, με τη βοήθεια μιας κατάλληλης εφαρμογής Geogebra.

Τι είναι τριγωνομετρική εξίσωση

Ως τριγωνομετρική εξίσωση θεωρείται κάθε ισότητα στην οποία συμπεριλαμβάνεται κάποιος τριγωνομετρικός αριθμός ενός άγνωστου τόξου ή γωνίας. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις $\text{ημ}\,(x)=\frac{1}{2}$ και $2\text{συν}\,(x)=\sqrt{2}$ , με άγνωστο το $x$ , είναι τριγωνομετρικές.

Ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τρεις είναι οι διαφορετικές κατηγορίες των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Πρόκειται για τις εξισώσεις της μορφής:

$\text{ημ}\,(x)=\alpha$ ,
$\text{συν}\,(x)=\alpha$ ,
$\text{εφ}\,(x)=\alpha$ ,

όπου $\alpha$ είναι πραγματικός αριθμός. Όπως σε κάθε εξίσωση, το ζητούμενο, σε καθεμία από τις παραπάνω ισότητες, είναι να βρεθούν όλες οι τιμές του $x$ που την επαληθεύουν. Κλειδί για την επίλυσή τους αποτελούν:

Ορισμένες χαρακτηριστικές τιμές από το σύνολο τιμών της καθεμίας από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Ο τριγωνομετρικός κύκλος.
Η περιοδικότητα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών βασικών τόξων

Στον παρακάτω πίνακα συγκεντρώνονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης ορισμένων χαρακτηριστικών γωνιών του πρώτου τεταρτημορίου.

$\begin{array}{c|ccccc} x \ (\text{ακτίνια}) & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ x \ (\text{μοίρες}) & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ \hline \text{ημ}\, x & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \text{συν}\, x & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \text{εφ}\, x & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{δεν ορίζεται} \end{array}$

Με τη βοήθεια αυτού του πίνακα μπορούν να βρεθούν, με αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο, διάφοροι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που σχετίζονται με τις παραπάνω γωνίες.

Εξισώσεις με ημίτονο

Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την εξίσωση, $\text{ημ}\,(x)=\frac{1}{2}$ . Πρώτα απ’ όλα, να σημειωθεί ότι, με βάση την προηγούμενη ισότητα, αναζητούμε εκείνες τις γωνίες $x$ που έχουν ημίτονο ίσο με $\frac{1}{2}$ . Από τον παραπάνω πίνακα, με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς χαρακτηριστικών γωνιών, προκύπτει ότι, $\text{ημ}\,(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$ . Το τελευταίο επιβεβαιώνεται και από τον τριγωνομετρικό κύκλο.

Επομένως, μία λύση της εξίσωσης είναι η $x=\frac{\pi}{6}$ . Άραγε, αυτή αποτελεί και τη μόνη της λύση;

Το παρακάτω σχήμα μάς υπενθυμίζει ότι, στο πλαίσιο της προηγούμενης αναζήτησης, μπορούμε να καταφύγουμε στην παραπληρωματική γωνία των $\frac{\pi}{6}$ . (Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδια ημίτονα.) Άρα, $\text{ημ}\,(\pi-\frac{\pi}{6})=\text{ημ}\,(\frac{\pi}{6})$ , δηλαδή, $\text{ημ}\,(\frac{5\pi}{6})=\frac{1}{2}$ . Συνεπώς, μια δεύτερη λύση της εξίσωσης είναι η $x=\frac{5\pi}{6}$ . Μήπως δεν είναι και οι μόνες; Σίγουρα, αν περιορίσουμε την αναζήτησή μας σ’ ένα διάστημα με πλάτος μικρότερο της περιόδου, $T=2\pi$ , της συνάρτησης $y=\text{ημ}\,(x)$ , δε θα καταφέρουμε να βρούμε άλλες λύσεις. Ωστόσο, η περιοδικότητα της συνάρτησης $y=\text{ημ}\,(x)$ , δηλαδή το ότι οι τιμές της επαναλαμβάνονται κάθε $Τ=2\pi$ αποκαλύπτει την τελική απάντηση. Όλες οι λύσεις της εξίσωσης προκύπτουν αν στις προηγούμενες δύο λύσεις, $x=\frac{\pi}{6}$ , $x=\frac{5\pi}{6}$ , αθροιστούν όλα τα δυνατά ακέραια πολλαπλάσια του $T=2\pi$ . Αυτό εκφράζουν οι παρακάτω σχέσεις:

$x=2\kappa\pi+\frac{\pi}{6} \text{ ή } x=2\kappa\pi+\frac{5\pi}{6},$

όπου $\kappa\in\mathbb{Z}$ . (Η πρόταση $\kappa\in\mathbb{Z}$ δηλώνει ότι η μεταβλητή $\kappa$ μπορεί να λάβει όλες τις δυνατές ακέραιες τιμές.)

Ενδεικτικά, σύμφωνα με τις προηγούμενες σχέσεις, άλλες δύο λύσεις της $\text{ημ}\,(x)=\frac{1}{2}$ , παριστάνονται στα ακόλουθα σχήματα.

Γενικότερα, για την τριγωνομετρική εξίσωση, $\text{ημ}\,(x)=\alpha$ , όπου $\alpha$ είναι ένας πραγματικός αριθμός, αν $\vartheta$ είναι μια γωνία τέτοια ώστε $\text{ημ}(\vartheta)=\alpha$ , τότε, προκύπτει ότι,

$x=2\kappa\pi+\vartheta \text{ ή } x=2\kappa\pi+\pi-\vartheta.$

Εξισώσεις με συνημίτονο

Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την εξίσωση, $\text{συν}\,(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Όπως προηγουμένως, από τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς χαρακτηριστικών γωνιών, έχουμε, $\text{συν}\,(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Προφανώς, η γωνία $x=-\frac{\pi}{4}$ αποτελεί μια δεύτερη λύση της εξίσωσης αφού οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδια συνημίτονα. (Αυτές οι δύο λύσεις βρίσκονται σ’ ένα διάστημα με εύρος μικρότερο της περιόδου, $T=2\pi$ , της συνάρτησης $y=\text{συν}\,(x)$ .)

Τώρα, η περιοδικότητα της συνάρτησης $y=\text{συν}\,(x)$ , υπαγορεύει ότι όλες οι λύσεις της εξίσωσης προκύπτουν αν στις προηγούμενες δύο, $x=\frac{\pi}{4}$ , $x=-\frac{\pi}{4}$ αθροιστούν όλα τα δυνατά ακέραια πολλαπλάσια του $T=2\pi$ . Αυτό, ακριβώς, δηλώνουν οι παρακάτω σχέσεις:

$x=2\kappa\pi+\frac{\pi}{6} \text{ ή } x=2\kappa\pi-\frac{\pi}{6},$

όπου $\kappa\in\mathbb{Z}$ .

Γενικότερα, για την τριγωνομετρική εξίσωση, $\text{συν}\,(x)=\alpha$ , όπου $\alpha$ είναι ένας πραγματικός αριθμός, αν $\vartheta$ είναι μια γωνία τέτοια ώστε $\text{συν}(\vartheta)=\alpha$ , τότε, προκύπτει ότι,

$x=2\kappa\pi+\vartheta \text{ ή } x=2\kappa\pi-\vartheta.$

Εξισώσεις με εφαπτομένη

Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την εξίσωση, $\text{εφ}\,(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Από τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς χαρακτηριστικών γωνιών, έχουμε, $\text{εφ}\,(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Προφανώς, η γωνία $x=\frac{\pi}{6}$ αποτελεί τη μοναδική λύση της εξίσωσης αν περιοριστούμε σ’ ένα διάστημα με πλάτος μικρότερο μιας περιόδου της συνάρτησης $y=\text{εφ}\,(x)$ . Πράγματι, ειδικά με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου, εύκολα διαπιστώνουμε ότι σ’ ένα τέτοιο διάστημα, με εύρος μικρότερο του $T=\pi$ , δεν υπάρχει άλλη λύση.

Βέβαια, η περιοδικότητα της συνάρτησης $y=\text{εφ}\,(x)$ , φανερώνει ότι όλες οι λύσεις της εξίσωσης προκύπτουν αν στην προηγούμενη $x=\frac{\pi}{6}$ αθροιστούν όλα τα δυνατά ακέραια πολλαπλάσια του $T=\pi$ . Συνεπώς,

$x=\kappa\pi+\frac{\pi}{6},$

όπου $\kappa\in\mathbb{Z}$ .

Γενικότερα, για την τριγωνομετρική εξίσωση, $\text{εφ}\,(x)=\alpha$ , όπου $\alpha$ είναι ένας πραγματικός αριθμός, αν $\vartheta$ είναι μια γωνία τέτοια ώστε $\text{εφ}(\vartheta)=\alpha$ , τότε, προκύπτει ότι,

$x=\kappa\pi+\vartheta.$

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της παρακάτω διαδραστικής εφαρμογής, μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση ορισμένων βασικών μορφών τριγωνομετρικών εξισώσεων. Η εφαρμογή, παρέχει τη δυνατότητα ελέγχου και ανά στοχασμού των απαντήσεών σας. Στο πλαίσιο αυτό, αξιοποιεί τον τριγωνομετρικό κύκλο, προσφέροντας κατάλληλες υποδείξεις, ενώ υπενθυμίζονται οι βασικοί τύποι της θεωρίας. Μπορείτε να επιλέξετε εξισώσεις που περιέχουν μόνο ημίτονο, ή μόνο συνημίτονο ή μόνο εφαπτομένη. Επιπλέον, μπορείτε να επιλέξετε εξισώσεις που συνδυάζουν τις προηγούμενες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Διακρίνονται τρεις ομάδες δυσκολίας. Μπορείτε να απαντήσετε με διάφορους τρόπους συνθέτοντας τις οικογένειες λύσεων.
Καλή ενασχόληση!

(Για εκείνους που θεωρούν ότι έχουν κατανοήσει αρκετά καλά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις τριγωνομετρικές εξισώσεις, προτείνεται η συνδυαστική διαδραστική εφαρμογή που μπορεί να βρεθεί εδώ.)

Επίλογος

Είναι αλήθεια ότι η διαδικασία επίλυσης των τριγωνομετρικών εξισώσεων, ακόμη και στις απλούστερες περιπτώσεις, εισάγει νέα γνωστικά σχήματα στο υπάρχον πλαίσιο διαπραγμάτευσης εξισώσεων. Στις τριγωνομετρικές εξισώσεις, πρώτα απ’ όλα, ο άγνωστος δε μπορεί να αποδεσμευτεί από τον τριγωνομετρικό αριθμό, στον οποίο υπεισέρχεται, παρά μόνο όταν γίνει εφαρμογή των σχετικών τύπων επίλυσης, κατά αντιστοιχία με την κατηγορία της τριγωνομετρικής εξίσωσης. Έπειτα, η επίλυσή τους χρειάζεται απομνημόνευση των τριγωνομετρικών αριθμών ορισμένων βασικών τόξων ( $\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2$ ). Επίσης, προϋποθέτει γνώση των σχέσεων μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών π.χ. αντίθετων γωνιών, παραπληρωματικών γωνιών, γωνιών που διαφέρουν κατά $\pi$ κ.ά.. (Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο.) Η κατανόηση, εμπέδωση και ορθή χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου συμβάλλει, επίσης, καθοριστικά, στην ενότητα αυτή, αφού, έτσι, ερμηνεύονται τα συμπεράσματα της θεωρίας.