Μη γραμμικά συστήματα κωνικών τομών

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Τα μη γραμμικά συστήματα, που διαπραγματεύονται στο πλαίσιο της Άλγεβρας της Β΄ Λυκείου, είναι, στην πλειονότητά τους, συστήματα εξισώσεων της μορφής:

$\left\{\begin{matrix}a_1 x^2 +2 b_1 x y + c_1 y^2 + d_1 x + e_1 y + f_1 &=&0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ a_2 x^2 +2 b_2 x y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 y + f_2 &=&0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{matrix}\right.,$

όπου $a_1,b_1,c_1,d_1,e_1,f_1,a_2,b_2,c_2,d_2,e_2,f_2 \in \mathbb{R}$ .

Θεωρούμε μια εξίσωση της μορφής,

(1) $\begin{equation*} ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0,\,\,\,\,a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Η προηγούμενη εξίσωση, μπορεί να αποδειχτεί ότι, στην περίπτωση που δεν είναι αδύνατη, επαληθεύεται από ζεύγη σημείων $(x,y)$ τα οποία, όταν παρασταθούν σ’ ένα σύστημα αξόνων, στο επίπεδο, σχηματίζουν είτε ζεύγος παράλληλων ευθειών είτε μια κωνική τομή: έλλειψη – κύκλο – σημείο, παραβολή, υπερβολή – ζεύγος τεμνόμενων ευθειών.

Η $(1)$ , συχνά, αναφέρεται ως γενική μορφή εξίσωσης δεύτερου βαθμού στο επίπεδο.

Γραφική επίλυση για μη γραμμικά συστήματα κωνικών τομών

Με αφόρμηση τη γραφική επίλυση των γραμμικών συστημάτων 2×2, θα επιχειρηθεί, με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής, να διερευνηθεί η αξιοποίηση της γραφικής μεθόδου και στα μη γραμμικά συστήματα της παραπάνω μορφής. Αξίζει να σημειωθεί ότι, ενώ το πλήθος των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος, είναι είτε 0, είτε 1, είτε άπειρο, στην περίπτωση των μη γραμμικών συστημάτων, όπως θα διαπιστωθεί, υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες. Για παράδειγμα, πόσα κοινά σημεία – λύσεις του αντίστοιχου συστήματος των εξισώσεών τους – έχουν ο κύκλος και η υπερβολή του σχήματος που ακολουθεί;

Παράδειγμα μη γραμμικού συστήματος με τέσσερις λύσεις

Η διαδραστική εφαρμογή

Η παρακάτω διαδραστική εφαρμογή παρέχει τη δυνατότητα σχεδίασης και ελέγχου του γραφήματος κάθε εξίσωσης ενός μη γραμμικού συστήματος όπως περιγράφηκε. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα της γραφικής επίλυσης για μια μεγάλη ποικιλία από συστήματα κωνικών τομών. (Ενώ καλύπτονται και οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου.) Μάλιστα, ο χρήστης έχει την ευχέρεια να προτείνει τα δικά του συστήματα και στη συνέχεια να προσπαθήσει να τα επιλύσει.

Καλή ενασχόληση!