Γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

Οι γεωμετρικές κατασκευές, με κανόνα και διαβήτη, αποτελούν μια εμβληματική ενότητα της Γεωμετρίας. Πρόκειται για ένα πλούσιο πεδίο, με ιστορικές αναφορές, με φιλοσοφικές προεκτάσεις, με πολιτισμικές και πολιτικές αναγνώσεις, με εννοιολογικούς συμβολισμούς και, φυσικά, με μαθηματικές – και όχι μόνο – εφαρμογές. Άλλωστε, τα τρία άλυτα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών της αρχαιότητας, δηλαδή, ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποτέλεσαν εφαλτήριο για την ανάπτυξη μαθηματικών θεωριών που παραμένουν επίκαιρες μέχρι και σήμερα.

Στην παράδοση των Γεωμετρών, από τους Πυθαγόρειους και μετέπειτα, υπήρχε η αδιαφιλονίκητη πεποίθηση, συνυφασμένη με την αρχαία ελληνική φιλοσοφία, ότι όλα τα σχήματα θα μπορούσαν να συντεθούν από ορισμένα πρωταρχικά σχήματα. Πραγματικά, κύρια, στο έργο του Ευκλείδη, η ιδέα αυτή αποκρυσταλλώνεται στην αναζήτηση τρόπων, έτσι, ώστε, οποιαδήποτε κατασκευή, όπως π.χ. η διχοτόμηση μιας δοσμένης γωνίας, να υλοποιηθεί μόνο με τη βοήθεια δύο σχημάτων. Τελικά, τα σχήματα στα οποία ανατέθηκε αυτή η αποστολή ήταν η ευθεία και ο κύκλος.

Από την αρχαιότητα έως σήμερα, η πρακτική αυτή, κατά τις γεωμετρικές κατασκευές, έχει συνδυάσει τη μαθηματική λιτότητα και ακρίβεια με τη διερεύνηση και δημιουργικότητα. Ταυτόχρονα, αποτελεί ένα μέσο έκφρασης.

Διότι, αν η ευθεία συνδέεται, μεταφορικά, με την αλλαγή και την εξέλιξη, στην πορεία του χρόνου, ο κύκλος συμβολίζει την περιοδικότητα, την αέναη κίνηση, μια εκδοχή, ίσως, της αιωνιότητας και της αθανασίας.

Σήμερα, οι γεωμετρικές κατασκευές, με κανόνα και διαβήτη, θα μπορούσαν να γεφυρώσουν την παράδοση με τη σύγχρονη εκπαίδευση. Διαχρονικά, μας υπενθυμίζουν τις φιλοσοφικές αρχές των Πυθαγόρειων ή τη στάση του Πλάτωνα για τα Μαθηματικά. Τελικά, η μαθηματική σκέψη δεν είναι απλώς ένας τρόπος για να λύνουμε προβλήματα. Πολύ περισσότερο, με τη μαθηματική μέθοδο, χάρη στα αναλυτικά και αφαιρετικά της χαρακτηριστικά, εξερευνούμε τη δομή του κόσμου, γύρω μας, αποκαλύπτοντας την αλήθεια μέσα από την απλούστερη δυνατή διαδικασία.

Κανόνας και διαβήτης

Στα Μαθηματικά του Γυμνασίου, ασχοληθήκατε με ορισμένες απλές κατασκευές χρησιμοποιώντας διάφορα όργανα όπως, χάρακα, γνώμονα, διαβήτη και μοιρογνωμόνιο. Για παράδειγμα, με χρήση του γνώμονα, κατασκευάζατε ορθές γωνίες ή κάθετα τμήματα, όπως πχ. τα ύψη τριγώνου.

Επίσης, όταν χρειαζόταν μετρούσατε είτε μήκη με το χάρακα, είτε γωνίες και τόξα κύκλων με το μοιρογνωμόνιο. Πλέον, στο Λύκειο, όταν αναφερόμαστε στον όρο γεωμετρική κατασκευή θα εννοούμε κάτι πιο ειδικό.

Έτσι, από εδώ και στο εξής, γεωμετρική κατασκευή ενός αντικειμένου σημαίνει ότι το αντικείμενο θα κατασκευαστεί, αποκλειστικά, με χρήση δύο συγκεκριμένων γεωμετρικών οργάνων. Το ένα είναι ο κανόνας, ένας μη βαθμολογημένος χάρακας, δηλαδή, που μάς επιτρέπει να χαράζουμε ευθείες και το άλλο είναι ο διαβήτης το όργανο, δηλαδή, που χρησιμοποιούμε για να σχεδιάζουμε κύκλους. Γιατί, όμως, δε δίνεται η δυνατότητα χρήσης κι άλλων οργάνων;

Άραγε, τι επιτάσσει αυτόν τον, φαινομενικά, «καταδυναστικό» περιορισμό;
Γιατί να μη μπορεί να παρακαμφθεί, στο πλαίσιο της (Ευκλείδειας) Γεωμετρίας και να πρέπει να θεωρείται απαρέγκλιτος;

Ο κανόνας και ο διαβήτης, λοιπόν, οι Διόσκουροι των γεωμετρικών οργάνων, πηγάζουν, εννοιολογικά, από τα σπλάχνα της Γεωμετρίας. Είναι τα εργαλεία που ενσαρκώνουν τα δύο πρωτογενή γεωμετρικά αντικείμενα της ευθείας και του κύκλου. Βέβαια, όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, αυτά τα δύο γεωμετρικά όργανα δεν εξυπηρετούν, μόνο, πρακτικές ανάγκες κατά τις γεωμετρικές κατασκευές. Αντίθετα, αυτό που αντιπροσωπεύουν είναι πιο γενικό και αφηρημένο.
Άλλωστε, η αναζήτηση των στοιχειωδών, των σπερμικών αρχών ή των δομικών συστατικών, καθώς κι η μεθοδολογία παραγωγής ενός συνόλου εννοιών, οντοτήτων ή υποστάσεων, με βάση τα κυρίαρχα, απαντάται σε διάφορα εννοιολογικά, υλικά και επιστημονικά πλαίσια.

Τα στοιχειώδη

Ενδεικτικά, τι θα απαντούσατε στα επόμενα ερωτήματα;

Πόσα είναι τα χρώματα και ποια είναι τα επτά κύρια χρώματα του ηλιακού φάσματος;
Πώς λέγεται το στοιχειώδες σωμάτιο ύλης;
Τι χρησιμοποιούμε για να παράγουμε φθόγγους, λέξεις, φράσεις, προτάσεις κ.ο.κ.;
Πώς λέγεται η μικρότερη στοιχειώδης μονάδα που εμφανίζει τα χαρακτηριστικά της ζωής και ποια η σημασία της στη Βιολογία;
Τι υφάσματα μπορούμε να κατασκευάσουμε χρησιμοποιώντας απλώς και μόνο βελόνα και κλωστή;
Τι σημαίνει πρώτος αριθμός και τι ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;
Ποια ήταν τα βασικά στοιχεία που συνθέτουν τα υλικά σώματα σύμφωνα με τις διάφορες φιλοσοφικές θεωρίες των Αρχαίων Ελλήνων;
Ποιες είναι οι «κοινές έννοιες» και τα «αιτήματα» της Γεωμετρίας;

Περιορισμός ή ελευθερία;

Ίσως, η οπτική να θεωρήσουμε τη συνθήκη της αποκλειστικής χρήσης του κανόνα και του διαβήτη, κατά τις γεωμετρικές κατασκευές, ως ανούσια ή υπερβολική, ή ως μια ανεξήγητη περιοριστική εμμονή, απότοκο της παράδοσης των αρχαίων Ελλήνων Γεωμετρών, να μη συνάδει με το πολιτισμικό πλαίσιο εκείνης της εποχής.

Στην αρχαία Αθήνα, όπου άνθισε τόσο η Δημοκρατία όσο και η Γεωμετρία, μπορούμε να ανιχνεύσουμε μια συμβολική σύνδεση μεταξύ των δύο θεμελίων του πολιτισμού της αρχαιότητας. Από τη μια μεριά, τα κύρια χαρακτηριστικά ενός δημοκρατικού πολιτεύματος, όπως η ισότητα, η διαφάνεια, η ελευθερία λόγου και η ανταλλαγή επιχειρημάτων, προϋποθέτουν την αυστηρή πειθαρχία στους θεσμούς. Μάλλον, αυτό απαιτείται σε κάθε καλά οργανωμένο σύστημα. Από την άλλη μεριά, οι αποδείξεις και οι κατασκευές στη Γεωμετρία, συνιστούν ένα πλαίσιο, στο οποίο, μέσα από διαδικασίες ανοικτές σε έλεγχο, κριτική και τεκμηρίωση, όπου η λογική και όχι η αυθεντία καθορίζει το αληθές, αναπτύσσονται τα γεωμετρικά θεωρήματα. Παρόμοια, για να συγκρατηθεί ο συνεκτικός ιστός των γεωμετρικών θεωρημάτων και κατασκευών πρέπει να τηρούνται οι αρχές και τα αξιώματά του.

Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις, αυτή η αυστηρότητα είναι, επίσης, πηγή δημιουργικότητας που οδηγεί σε ρηξικέλευθες και καινοτόμες λύσεις.

Γεωμετρικές κατασκευές στο Λύκειο

Α΄ Λυκείου

Στην Α΄ Λυκείου, μετά από ορισμένα εισαγωγικά μαθήματα, όπου αναφέρονται τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και τα πορίσματά τους, οι βασικοί γεωμετρικοί τόποι, οι σχετικές θέσεις κύκλου και ευθείας και οι σχετικές θέσεις δύο κύκλων, ακολουθεί η ενότητα των γεωμετρικών κατασκευών. Εκεί, οι κατασκευές αυτές διακρίνονται στις απλές γεωμετρικές κατασκευές και στις βασικές κατασκευές τριγώνων.

Παρακάτω, παρουσιάζονται οι κατασκευές αυτές με τη βοήθεια κατάλληλων κινούμενων εικόνων. Έτσι, αφού μελετήσετε τη σύνθεση αυτών των κατασκευών, θα μπορούσατε να δοκιμάσετε να τις επαναλάβετε μόνοι σας.

Ακόμη, έχετε τη δυνατότητα να το πραγματοποιήσετε, ψηφιακά, από εδώ.

Απλές γεωμετρικές κατασκευές

Κατασκευή γωνίας ίση με δοσμένη γωνία $\varphi$ .

Κατασκευή της μεσοκαθέτου, $\zeta$ , ενός τμήματος $AB$ .

Κατασκευή της καθέτου, $\zeta$ , μιας ευθείας, $\varepsilon$ , από σημείο, $A$ , εκτός της ευθείας $\varepsilon$ .

(Αν το σημείο, $A$ , βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\varepsilon$ , η κατασκευή υλοποιείται με παρόμοιο τρόπο.)

Κατασκευή της διχοτόμου, $O\delta$ , μιας γωνίας, $x\hat{O}y$ .

Κατασκευή της εφαπτομένης, $\varepsilon$ , ενός κύκλου $(O,\rho)$ , σε σημείο του $A$ .

Βασικές γεωμετρικές κατασκευές τριγώνων

Κατασκευή τριγώνου όταν δίνονται δύο πλευρές του και η περιεχόμενη γωνία τους.

Κατασκευή τριγώνου όταν δίνονται μία πλευρά του και οι προσκείμενες σ’ αυτή γωνίες του.

Κατασκευή τριγώνου όταν δίνονται οι τρεις πλευρές του.

Β΄ Λυκείου

Στη Β΄ λυκείου, μετά την ενότητα του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και των Πορισμάτων του, ακολουθούν ορισμένες γεωμετρικές κατασκευές ως εφαρμογές των αντίστοιχων σχέσεων. Παρακάτω, παρατίθενται τα προβλήματα αυτών των κατασκευών ενώ αναπτύσσονται τα δύο πρώτα με διαδραστικό τρόπο.

Κατασκευή του τμήματος $\kappa=\alpha^2+\beta^2$ , όπου $\alpha,\beta$ γνωστά τμήματα.

Κατασκευή του τμήματος $\kappa=\alpha^2-\beta^2$ , όπου $\alpha,\beta$ γνωστά τμήματα με $\alpha>\beta$ .

Κατασκευή του τμήματος $\kappa=\sqrt{\alpha\cdot\beta}$ , όπου $\alpha,\beta$ γνωστά τμήματα.Εδώ, αξίζει τον κόπο να σημειωθεί ότι το τμήμα $\kappa$ είναι ο γεωμετρικός μέσος ή αλλιώς η μέση ανάλογος των τμημάτων $\alpha$ και $\beta$ . Άραγε, μήπως, παρατηρώντας το παραπάνω σχήμα, θα μπορούσατε να εντοπίσετε και τον αριθμητικό μέσο των τμημάτων $\alpha$ και $\beta$ ; Ίσως, τότε, συγκρίνοντας, γεωμετρικά, τους δύο μέσους, να ήσασταν σε θέση να διατυπώσετε μια χρήσιμη σχέση, γνωστή ως ανισότητα αριθμητικού – γεωμετρικού μέσου.

Κατασκευή των τμημάτων $\sqrt{2}\alpha,\sqrt{3}\alpha,\sqrt{4}\alpha,\dots$ , όπου $\alpha$ γνωστό τμήμα. Η συγκεκριμένη κατασκευή οδηγεί στη γνωστή σπείρα του Θεοδώρου του Κηρυναίου. Η αξία των κατασκευών τέτοιων τμημάτων, όπως π.χ. του $\sqrt{2}\alpha$ , έγκειται στην αναπαράσταση, μ’ έναν τρόπο απτό και εποπτικό, άρρητων μεγεθών, όπως, αντίστοιχα του $\sqrt{2}$ που προκύπτει, για $\alpha=1$ , από το $\sqrt{2}\alpha$ . Έτσι, ο κλάδος της Γεωμετρίας φάνηκε να δίνει λύση στο πρόβλημα της αρρητότητας. Άλλωστε, “άρρητο” σημαίνει αυτό που δε μπορεί να ειπωθεί και να εκφραστεί με λόγια. Δεν είναι σπουδαίο ότι μπορεί να βρεθεί ένας εναλλακτικός, γεωμετρικός, τρόπος έκφρασης άρρητων ποσοτήτων εκεί όπου η αριθμητική οδηγούνταν σε αδιέξοδο;

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της ακόλουθης διαδραστικής εφαρμογής καλείστε να πραγματοποιήσετε ορισμένες βασικές γεωμετρικές κατασκευές, με χρήση, αποκλειστικά, κανόνα και διαβήτη.

Οι κατασκευές διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες:

Βασικές κατασκευές (Α΄ Λυκείου)
Κατασκευές τριγώνων (Α΄Λυκείου)
Μετρικές σχέσεις (Β΄Λυκείου)

Η εφαρμογή παρέχει τη δυνατότητα σχεδίασης ευθειών, ημιευθειών, κύκλων και τόξων κύκλων, ψηφιακά, με τη βοήθεια κατάλληλων λειτουργιών. Επίσης, μπορείτε να βρείτε τις τομές των προηγούμενων αντικειμένων σύροντας το αντίστοιχο εργαλείο, με την εικόνα των τεμνόμενων καμπυλών, κοντά στα τεμνόμενα αντικείμενα. Φυσικά, μπορείτε να διαγράψετε ορισμένα ενδιάμεσα στοιχεία των κατασκευών σας, σύροντας το εργαλείο του σβησίματος, με την εικόνα του “φαντάσματος”, κοντά στο λάθος ή περιττό αντικείμενο. Τέλος, έχετε τη δυνατότητα να ελέγξετε τις κατασκευές σας πατώντας το κουμπί ελέγχου.

Καλή ενασχόληση!