Εισαγωγή
Η εκθετική συνάρτηση, μέσα από τις διάφορες εκφράσεις της, θα μπορούσε να περιγράψει μια σειρά από ετερογενή φαινόμενα. Ο τρόπος που μαραίνεται μια κολοκύθα, ως την αύξηση των κρουσμάτων ενός ιού της γρίπης, αλλά και η μείωση της θερμοκρασίας ενός ζεστού φλιτζανιού καφέ, ως την αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού, εκδηλώνονται υπακούοντας στον ίδιο καθολικό κανόνα.
Ένας κανόνας που, με προσεκτική μελέτη, ίσως, να διευρύνει τα όρια του “γραμμικού” τρόπου σκέψης στον οποίο, μάλλον, πολλοί είναι προσκολλημένοι.
Ενδεικτικά, να προβληματιστείτε, για λίγη ώρα, προσπαθώντας να απαντήσετε στο ακόλουθο ερώτημα:
Μια συγκεκριμένη εποχή του χρόνου, σε μια λίμνη, ένας πληθυσμός νουφάρων διπλασιάζεται καθημερινά. Αν σε είκοσι ημέρες τα νούφαρα κάλυψαν ολόκληρη τη λίμνη, σε πόσες ημέρες είχαν καλύψει τη μισή;
Η εκθετική μεταβολή
Ο μη υποψιασμένος αναγνώστης δύσκολα θα αποφύγει να διολισθήσει στην παγίδα της “παγκόσμιας γραμμικότητας”, απαντώντας λανθασμένα σ΄ένα ερώτημα όπως το προηγούμενο.
Θεωρώντας το πλήθος των νούφαρων, σε συνάρτηση με τον αριθμό των ημερών, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι ισόποσες χρονικές μεταβολές δεν οδηγούν, αναγκαστικά, σε ισόποσες μεταβολές στον πληθυσμό των νούφαρων.
Για παράδειγμα, αν μετά από 1 ημέρα, τα νούφαρα είναι 100, μετά από 2 ημέρες θα είναι 200, αλλά μετά από 3 ημέρες δε θα είναι 300, αλλά, προφανώς, 400. Έτσι, ενώ ο χρόνος μεταβάλλεται ισόποσα (ανά 1 ημέρα) δεν ισχύει το ίδιο για τη μεταβολή του αριθμού των νούφαρων. (Οι διαδοχικές διαφορές δεν είναι ίδιες.)
Μήπως μπορείτε να εντοπίσετε ποιο μέγεθος παραμένει σταθερό κατά τη μεταβολή του αριθμού των νούφαρων;
Ποια έννοια των Μαθηματικών υπεισέρχεται κατά τη μελέτη τέτοιων συναρτήσεων;
Η διαδραστική εφαρμογή
Με τη βοήθεια της ακόλουθης εφαρμογής, αρχικά, θα επιχειρηθεί μια ανασκόπηση στην έννοια της δύναμης. Όπως, ίσως, αναγνωρίσατε, η έννοια αυτή, είναι το απαραίτητο συστατικό για την εκθετική συνάρτηση. Άρα, καλό είναι να επαναληφθεί μαζί με τις ιδιότητές της. Έπειτα, η εφαρμογή σας καθοδηγεί στη γενίκευση της έννοιας για να συμπεριλάβει την περίπτωση άρρητου εκθέτη. Στη συνέχεια θα κληθείτε, μέσα από ένα διαδραστικό παιχνίδι, να σχεδιάσετε το γράφημα για μια γκάμα εκθετικών συναρτήσεων.
