Η εκθετική συνάρτηση

Μοιραστείτε το!

Εισαγωγή

“Η εκθετική συνάρτηση αρπάζει και σαγηνεύει τα πάντα, είτε πρόκειται για κύτταρο, είτε για οργανισμό, είτε για κάποιο σύστημα, οτιδήποτε υποκύπτει στη γοητεία της.”

John Nicholas Gray, 1948 – Σήμερα

Άγγλος Φιλόσοφος

Στην καθημερινότητά μας, είναι σύνηθες ένα μέγεθος να μεταβάλλεται αναλογικά σε σχέση με την αντίστοιχη μεταβολή κάποιου άλλου μεγέθους π.χ. του χρόνου.

Για παράδειγμα,

Το διάστημα που διανύει ένα αυτοκίνητο, που κινείται με σταθερή ταχύτητα, είναι ανάλογο προς τη χρονική διάρκεια αυτής της κίνησης.
Το μεροκάματο ενός σερβιτόρου, χωρίς τα φιλοδωρήματα, είναι ανάλογο των ωρών εργασίας του.
Ο όγκος του νερού που γεμίζει ένα μπουκάλι, από μια βρύση με σταθερή ροή, μεταβάλλεται ανάλογα προς τη χρονική διάρκεια του γεμίσματος.

Ωστόσο, γενικότερα, μεταξύ δύο μεγεθών, δεν προκύπτει, πάντοτε, ο προηγούμενος (γραμμικός) τρόπος συσχέτισης.

Για παράδειγμα, να επιχειρήσετε να απαντήσετε στο παρακάτω ευφάνταστο πρόβλημα:

Η ποσότητα των νούφαρων μιας λίμνης διπλασιάζεται κάθε εικοσιτετράωρο. Σε δέκα εικοσιτετράωρα, καλύφθηκε όλη η λίμνη. Σε πόσα εικοσιτετράωρα είχε καλυφθεί η μισή λίμνη;

“Παγκόσμια αρχή γραμμικότητας”

Μάλλον, ο μη υποψιασμένος αναγνώστης, δύσκολα, θα αποφύγει να διολισθήσει στην παγίδα της “παγκόσμιας αρχής γραμμικότητας” απαντώντας ότι η λίμνη είχε καλυφθεί σε πέντε εικοσιτετράωρα. Είναι, όμως, έτσι;

Μήπως τα συγκεκριμένα μεγέθη δε συνδέονται γραμμικά;

Το εκθετικό μοντέλο συσχέτισης δύο μεγεθών

Πράγματι, θεωρώντας το πλήθος των νούφαρων, σε συνάρτηση με τον αριθμό των εικοσιτετραώρων, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ισόποσες χρονικές μεταβολές δεν οδηγούν, αναγκαστικά, σε ισόποσες μεταβολές στον πληθυσμό των νούφαρων.

Για παράδειγμα, αν μετά από 1 εικοσιτετράωρο, τα νούφαρα είναι 100, μετά από 2 εικοσιτετράωρα θα είναι 200, αλλά μετά από 3 εικοσιτετράωρα δε θα είναι 300, αλλά, προφανώς, 400. Έτσι, ενώ ο χρόνος μεταβάλλεται ισόποσα (ανά εικοσιτετράωρο) δεν ισχύει το ίδιο για τη μεταβολή του αριθμού των νούφαρων.

Δηλαδή, οι διαδοχικές διαφορές του αριθμού των νουφάρων, ανά εικοσιτετράωρο, δεν παραμένουν σταθερές.

Όμως, όπως μπορείτε να παρατηρήσετε, τα διαδοχικά πηλίκα του αριθμού των νουφάρων, ανά εικοσιτετράωρο, παραμένουν σταθερά. Σας θυμίζει αυτό το χαρακτηριστικό την ειδική κατηγορία των γεωμετρικών πρόοδων;

Επομένως, οι διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί, με βάση τον ίδιο αριθμό βρίσκονται στον πυρήνα τέτοιων φαινομένων.

Άλλωστε, όπως θα δούμε, η έννοια της δύναμης – με σταθερή βάση και μεταβλητό εκθέτη – κυριαρχεί στις εκθετικές συναρτήσεις.

Η εκθετική συνάρτηση σε πραγματικές καταστάσεις

Συχνά, σε πραγματικές καταστάσεις, ένα μέγεθος μεταβάλλεται κατά ένα σταθερό ποσοστό επί της τρέχουσας τιμής του σε αντιστοιχία με ένα δεύτερο μέγεθος που μεταβάλλεται ισόποσα. Για παράδειγμα, τι κοινό μπορεί να έχουν:

Από τη μια μεριά,

Η αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού;

Ας σημειωθεί ότι ο τωρινός πληθυσμός είναι 8 δισεκατομμύρια με ετήσιο ποσοστό αύξησης περίπου ίσο με $2\%$ .

(Από το 1820 έως το 1950 τα δεδομένα του παραπάνω γραφήματος είναι κατ’ εκτίμηση.)

Η αλλοίωση των φαγητών εκτός ψυγείου όπου τα βακτήρια διπλασιάζονται ανά τακτά χρονικά διαστήματα;
Η αύξηση των κρουσμάτων ενός ιού της γρίπης καθώς τετραπλασιάζονται ανά τακτά χρονικά διαστήματα;

Από την άλλη πλευρά,

Η μείωση της θερμοκρασίας ενός ζεστού φλιτζανιού καφέ;

Χρόνος (λεπτά)

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Θερμοκρασία

(Βαθμοί Κελσίου)

$85$

$76$

$68$

$62$

$56$

$51$

$47$

$44$

Η τιμή πώλησης ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου το οποίο κάθε πέντε χρόνια χάνει το $50\%$ της τρέχουσας αξίας του;
Η ποσότητα του ραδιενεργού ουράνιου;

Μελέτη της εκθετικής συνάρτησης

Τελικά, από τον τρόπο που μειώνεται η τιμή ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου, ως την αύξηση των κρουσμάτων ενός ιού της γρίπης, αλλά και από τη μείωση της θερμοκρασίας ενός ζεστού φλιτζανιού καφέ, ως την αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού, εκδηλώνεται ο ίδιος καθολικός νόμος.

Έτσι, το εκθετικό μοντέλο, μέσα από τις διάφορες εκφράσεις του, θα μπορούσε να περιγράψει μια σειρά από ετερογενή φαινόμενα. Συνεπώς, αξίζει τον κόπο να μελετήσουμε τον τύπο και τα γνωρίσματα της εκθετικής συνάρτησης.

Συγκεκριμένα, ας αναλύσουμε τα παρακάτω δύο παραδείγματα. Όπως θα διαπιστώσετε, το πρώτο αναφέρεται σε μια γνήσια αύξουσα και το δεύτερο σε μια γνήσια φθίνουσα εκθετική συνάρτηση.

Εκθετική αύξηση

Τα τελευταία έτη έχει παρατηρηθεί ότι ο μέσος όγκος δεδομένων, που ένας μέσος χρήστης καταναλώνει, ημερησίως, διπλασιάζεται κάθε χρόνο. Κάποιο έτος, που θα είναι το έτος αναφοράς, $0$ , ο μέσος όγκος δεδομένων, που ένας μέσος χρήστης κατανάλωνε, ημερησίως, ήταν $1$ Gb.

Άρα, αν $y$ παριστάνει τον όγκο δεδομένων, σε GB, ως προς τα έτη, $x$ , που έχουν παρέλθει ή έπονται, ως προς το έτος αναφοράς, τότε, $y=2^x$ .

Ίσως, με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών και του αντίστοιχου γραφήματος, να αναδειχθούν τα ιδιαίτερα στοιχεία της συγκεκριμένης εκθετικής συνάρτησης με βάση $\alpha=2$ .

Επομένως, ας συμπληρώσουμε, αρχικά, έναν πίνακα τιμών όπως ο παρακάτω.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=2^x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$

Πλέον, μπορούμε να εικάσουμε και να σχεδιάσουμε την αντίστοιχη γραφική παράσταση.

Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι κάθε συνάρτηση με τύπο $y=\alpha^x$ , όπου $\alpha>1$ , όπως π.χ. οι $y=2^x$ , $y=3^x$ , $y=4^x$ , είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις. Επίσης, έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb{R}$ , διότι ο εκθέτης $x$ μπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή: θετική, αρνητική ή και το $0$ . Ακόμη, το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο $(0,+\infty)$ , μιας και το αποτέλεσμα της δύναμης $y=\alpha^x$ , με $\alpha>1>0$ , “καλύπτει” όλους τους θετικούς αριθμούς όσο μεταβάλλεται ο εκθέτης της, $x$ . Τέλος, μια τέτοια συνάρτηση τείνει, ασυμπτωτικά, προς τον αρνητικό ημιάξονα $Ox'$ .

Εκθετική μείωση

Σ΄ ένα σχολείο διοργανώθηκε ένα πρωτάθλημα επιτραπέζιας αντισφέρισης.

Σε κάθε φάση κληρώνονται δύο μαθητές οι οποίοι αναμετρώνται μεταξύ τους.
Ο νικητής κάθε ζευγαριού προκρίνεται στην επόμενη φάση όπου επαναλαμβάνεται η προηγούμενη διαδικασία.
Σε κάποιο στάδιο της διοργάνωσης (στάδιο αναφοράς) ο αριθμός των μαθητών που είχαν προκριθεί ήταν $128$ .

Η συνάρτηση που, σε κάθε στάδιο, $x$ , που έπεται ή προηγήθηκε του σταδίου αναφοράς, αντιστοιχεί τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ο αριθμός των $128$ μαθητών, που συμμετείχαν στο στάδιο αναφοράς, έχει τύπο, $y=(\frac{1}{2})^x$ .

Πάλι, με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών και του αντίστοιχου γραφήματος, θα αναδειχθούν τα ιδιαίτερα στοιχεία της συγκεκριμένης εκθετικής συνάρτησης με βάση $\alpha=\frac{1}{2}$ .

Αρχικά, συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=(\frac{1}{2})^x$	$8$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Έπειτα, όπως πιο πάνω, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συγκεκριμένης εκθετικής συνάρτησης.

Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι κάθε συνάρτηση με τύπο $y=\alpha^x$ , όπου $0<\alpha<1$ , όπως π.χ. οι $y=(\frac{1}{2})^x$ , $y=(\frac{2}{3})^x$ , $y=(\frac{2}{5})^x$ , είναι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις. Επίσης, έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο $\mathbb{R}$ , διότι ο εκθέτης $x$ μπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγματική τιμή: θετική, αρνητική ή και το $0$ . Ακόμη, το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο $(0,+\infty)$ , μιας και το αποτέλεσμα της δύναμης $y=\alpha^x$ , με $0<\alpha<1$ , “καλύπτει” όλους τους θετικούς αριθμούς όσο μεταβάλλεται ο εκθέτης της, $x$ . Τέλος, μια τέτοια συνάρτηση τείνει, ασυμπτωτικά, προς τον θετικό ημιάξονα $Ox$ .

Η διαδραστική εφαρμογή

Με τη βοήθεια της ακόλουθης εφαρμογής, αρχικά, θα επιχειρηθεί μια ανασκόπηση στην έννοια της δύναμης. Όπως, ίσως, αναγνωρίσατε, η έννοια αυτή, είναι το απαραίτητο συστατικό για την εκθετική συνάρτηση. Άρα, καλό είναι να επαναληφθεί μαζί με τις ιδιότητές της. Έπειτα, η εφαρμογή σας καθοδηγεί στη γενίκευση της έννοιας για να συμπεριλάβει την περίπτωση άρρητου εκθέτη. Στη συνέχεια θα κληθείτε, μέσα από ένα διαδραστικό παιχνίδι, να σχεδιάσετε το γράφημα για μια γκάμα εκθετικών συναρτήσεων.